<<
>>

Модель «назначения».

Пусть в системе имеются n АЭ - исполнителей работ по корпоративным проектам (I = {l, 2, ..., n} - множество АЭ) и m ? n центров, каждому из которых поставлен в соответствие некоторый тип работ.
Тогда проект (выбираемый за единицу времени) может характеризоваться вектором v = (vl, v2, ..., vm) объемов работ, где Vj > 0, j е М- множеству работ (центров).

Введем матрицу \ \уЛг еi j еМ, элемент уj > 0 которой отражает объем работ j-го типа, выполняемый i-ым АЭ. Обозначим уг = (у,7, ¦¦, угт) е Жm - вектор объемов работ, выполняемых i-ым АЭ, i е I, у = (У1, ..., ут) е Жmn - вектор распределения работ по АЭ.

Если сг(у): Жm n ® Ж+1 - функция затрат i-го АЭ, то задача распределения работ может быть сформулирована в виде:

У С (у) ® min,

ieI у

У у} = Vj, jj е М.

ieI

Отметим, что в задаче (1)-(2) не учитываются ограничения на объемы работ, выполняемые АЭ.

Если функции затрат выпуклые по соответствующим переменным, то (1)-(2) - задача выпуклого программирования. Оптимальное значение целевой функции (1) обозначим C0(v).

Например, если ? c, (y) = ? ? y2 / 2ri} , то y,j = r,j VJ / j где

ill ill JeM

rj = ? rt] , i e l, J e M, и C0(v) = ? v2 /2ry .

iel JeM

Содержательно задача (1)-(2) соответствует определению структуры взаимосвязей между АЭ и центрами (напомним, что каждый центр «отвечает» за некоторую работу). В общем случае каждый АЭ оказывается связан с каждым центром, так как первый выполняет в оптимальном распределении работ работы нескольких (быть может, даже всех) типов. Можно условно считать, что подобным связям соответствует матричная структура управления (описываемая матрицей | \yJ I, €l: J €M, являющейся решением задачи (1)-(2) и называемой иногда матрицей ответственности), эффективность которой зависит от рассматриваемого проекта v и равна C0(v). Поэтому задачу (1)-(2) можно условно назвать задачей синтеза оптимальной матричной структуры.

Альтернативой является использование функциональной структуры, в которой каждый АЭ закреплен за одним и только одним центром (типом работ). Для того, чтобы найти оптимальную функциональную структуру, следует решить задачу назначения исполнителей. Сформулируем эту задачу.

Пусть функции затрат АЭ сепарабельны:

c,(y) = ? С] (y,j).

JeM

Тогда задача поиска оптимальной функциональной структуры заключается в нахождении такого разбиения S множества АЭ l на m непустых подмножеств S = {SJ}J € M (между элементами которых работа соответствующего типа распределяется по аналогии с задачей (1)-(2)), что суммарные затраты по выполнению всего объема работ в рассматриваемом проекте минимальны.

Задача распределения объемов j-ой работы между элементами множества SJ сl имеет вид:

? С](y,j) ® min,

ieS] ySj

У у} = v;,

ieSj

где у5 - вектор действий АЭ из множества Sj, j е М.

Обозначим Cj(Sj, vj) - оптимальное значение целевой функции (4). Тогда задача синтеза функциональной структуры заключается в нахождении разбиения S минимизирующего сумму затрат, полученных из решения задач (4)-(5) для всех j е М:

УCj(Sj,vj) ® min.

]?М S

Обозначим C(v) - оптимальное значение целевой функции в задаче (6).

Утверждение 10. "v C(v) > C0(v).

Доказательство утверждения 10. При сепарабельных функциях затрат АЭ У Cj (Sj, vj) = У У с,} (у,}) = У с,(y), то есть

jeM jeM ieSj ieI

целевые функции (1) и (6) (с учетом (4)) в задачах синтеза оптимальной матричной и функциональной структур совпадают. В последней задаче допустимое множество не шире, следовательно, и значение целевой функции не меньше. Утверждение 10 доказано.

Эффективности C(v) и C0(v), соответственно, функциональной и матричной структур являются косвенными оценками максимальных дополнительных затрат на управление, возникающих при переходе от линейной (функциональной) к матричной структуре управления. Поясним последнее утверждение. Функциональная структура, как известно [19, 40, 47, 48], требует минимальных затрат на управление (собственное функционирование).

Но, она приводит к неэффективному распределению работ между АЭ - см. утверждение 10. С другой стороны, матричная структура приводит к более эффективному распределению работ, но требует больших затрат на управление. Поэтому при решении вопроса о выборе структуры (или переходе от одной структуры к другой) следует принимать во внимание оба фактора: затраты на управление и эффективность распределения работ (эффективность структуры). Если последняя может быть оценена количественно (см. задачи (1)-(2) и (4)-(6)), то определение затрат на управление является сложной задачей, решаемой на практике, зачастую, интуитивно.

Исходя из этого, можно сказать, что если затраты на управление при использовании матричной структуры превышают затраты на управление при использовании линейной структуры не более, чем на C(v) - C0(v), то предпочтительно использование матричной структуры, в противном случае - линейной.

Кроме того, во многих реальных организациях одна подструктура является матричной, а другая - линейной. Определение рационального баланса (между ними двумя одновременно) может производиться по аналогии с формулировкой и решением задачи

(4)46).

Если задача (4)-(5) является стандартной задачей математического программирования, то задача (6) принадлежит к задачам дискретной оптимизации. Решение ее в случае больших значений m и n может оказаться чрезвычайно трудоемким. Поэтому для того, чтобы сделать хоть какие-то качественные выводы, введем ряд упрощающих предположений.

Рассмотрим частный случай, когда число АЭ равно числу работ, затраты АЭ сепарабельны и удельные затраты c,j i-го АЭ по выполнению j-ой работы постоянны, i e l, j e M.

Тогда элементы разбиения S - одноэлементные множества и задача (1)-(2) принимает вид:

? U ®

iel jeJ {yj г0}

? y,j = V], j e M,

iel

а задача (4)-(6) превращается в следующую стандартную задачу о назначении:

??cjV]x] ® { тп

,eljeJ { УЧ e{0;1}}

? Xj = 1,j € M,

ie l

? Xj = 1, i € l.

JeM

В силу линейности целевой функции (7), решение задачи (7)- (8) тривиально: y] = VJ, если i = arg min c,j, и у,] = 0, если

ie l

i ^ arg min c,j, i e l, то есть следует поручать весь объем работ j-го

ie l

типа поручать тому АЭ, который выполняет его с наименьшими удельными затратами.

При этом может оказаться, что все работы выполняет один АЭ. Это распределение работ будет оптимально по критерию суммарных затрат, но может быть нереализуемым на практике.

Для того чтобы уйти от тривиального (и иногда нереализуемого) решения, введем ограничения Y. на максимальный суммарный объем работ, которые может выполнять i-ый АЭ, i е I.

С этими ограничениями задача (7)-(8) превращается в следующую стандартную транспортную задачу:

(12) У У сгу ® min

ieI jeJ

{уц >0}

(13) У у,, = v, j е М,

ieI

(14) У у , ? Yi, i е I,

jeM

которая разрешима при условии У Yi > У v, .

ieI jeM

Задачи «назначения» (1)-(2), (4)-(6), (7)-(8), (9)-(11) и (12)-(14) формулировались для случая одного проекта. Аналогично ставятся и решаются задачи синтеза оптимальных (матричных и линейных) структур и для случая, когда система реализует последовательно набор проектов с заданными характеристиками (или характеристиками, относительно которых имеется статистическая информация). Матричной структуре при этом соответствуют изменяющиеся во времени (в зависимости от реализуемого проекта) распределения работ по АЭ (с этой точки зрения матричная структура управления, определяемая в результате решения задач «назначения» на каждом шаге, близка к сетевой структуре [40]), линейной - постоянное закрепление АЭ за определенными центрами (типами работ). Эффективность той или иной структуры в динамике может оцениваться как сумма (или математическое ожидание, если характеристики потока достоверно неизвестны) затрат на реализацию всего набора проектов за рассматриваемый период времени. Вывод утверждения 10 о том, что матричная структура характеризуется не большими суммарными затратами АЭ, чем линейная, в динамике также остается в силе.? 1 2 2 3 , ограни-

Приведем пример. Пусть имеются два типа работ и два АЭ,

удельные затраты которых представлены матрицей

чения объемов работ АЭ: Y' = Y2 = 1, рассматривался поток из 60 проектов объемами (vb v2), которые равномерно распределены на v' + v2 ? 2.

Численное моделирование заключалось в нахождении для каждого проекта:

затрат c1 (решение задачи (9)-(11)) при назначении

один из вариантов постоянной (не изменяющейся во времени) линейной структуры;

затрат c2 (решение задачи (9)-(11)) при назначении

один из вариантов постоянной (не изменяющейся во времени) линейной структуры;

затрат c - оптимальное решение задачи (9)-(11) - оптимальная на каждом шаге линейная структура без ограничений на индивидуальные объемы работ АЭ;

затрат c00 - оптимальное решение задачи (7)-(8) - оптимальная на каждом шаге матричная структура без ограничений на индивидуальные объемы работ АЭ;

затрат c0 - оптимальное решение задачи (12)-(14) - оптимальная на каждом шаге матричная структура c ограничениями на индивидуальные объемы работ АЭ.

Средние (по всем 60 проектам) значения затрат приведены в таблице 1.

Табл. 1. Средние затраты c1 c2 c0 c c00 3,08 3,02 2,81 2,76 2,29 На рисунке 14 приведены графики отношений (c' / c - 1) и (c / c - 1), характеризующий потери в эффективности из-за использования постоянной (не зависящей от специфики реализуемого проекта) линейной структуры.

Номер проекта

Рис. 14. Эффективность постоянной линейной структуры

На рисунке 15 приведены графики затрат c - оптимального решения задачи (9)-(11) - прерывистая линия - и с00 - оптимального решения задачи (7)-(8) - непрерывная линия, которые позволяют оценить потери в эффективности от использования линейной структуры по сравнению с матричной (см. также утверждение 10).

Таким образом, постановка и решение задач «назначения» позволяет оценивать сравнительную эффективность различных структур и закономерностей их трансформации, осуществлять выбор оптимальной или рациональной структуры управляющей компании в зависимости от набора проектов, реализуемых в рамках корпоративной программы.

<< | >>
Источник: Гламаздин Е.С., Новиков Д.А., Цветков А.В.. Управление корпоративными программами: информационные системы и математические модели. 2003

Еще по теме Модель «назначения».:

  1. 3.2.2. Межотраслевая модель регионального комплекса
  2. 1.1. Простейшие модели
  3. Модель «назначения».
  4. 6. Патентоспособность полезной модели
  5. Статья 1358. Исключительное право на изобретение, полезную модель или промышленный образец
  6. 4. Действующий порядок назначения, подготовки и проведения референдумов
  7. § 2. Модели местного управления и самоуправления
  8. § 2. Модели корпоративного управления 1. Модели корпоративного управления по европейскому законодательству
  9. 16.1. Правовые модели социального партнерства: прошлое, настоящее, будущее
  10. 5.2. Модели отношений между пациентом и врачом
  11. § 3.5. Разработка базовых моделей в Европе и СНГ
  12. Модели рынка
  13. 6.1. Модель поведения покупателей на потребительском рынке
  14. 11.5. МОДЕЛИ ВОСПРИЯТИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ПОКУПАТЕЛЯМИ РЕКЛАМНЫХ СООБЩЕНИЙ
  15. 2.7. МОТИВЫ СОУЧАСТИЯ ПЕРСОНАЛА В ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ 2.7.1. Мотив соучастия и модели корпоративного управления