<<
>>

2.4.1. Использование традиционных способов расчета

На первом этапе проведем вычисление традиционным, а потому и самым утомительным способом, т.е. «вручную». Здесь нам в лучшем случае может помочь лишь калькулятор.

У

' о

vr

- / /"

о /

' ' I I I I

2 4 6 8 10 12

Время X, ч

Рис.12.

Графическое изображение исследуемой зависимости y = fx)

Вычисление коэффициентов регрессии удобнее проводить в табличной форме. Для этого заполним табл.5, в которой, помимо исходных данных (их мы расположим по столбцам), в графах 4-8 укажем вспомогательные расчетные данные.

Для проверки правильности вычисления в таблице можно использовать следующее выражение: Цх+у)2 = Их2 + 2!ху + Ну2.

1. Определим среднее арифметическое для каждого ряда - для х и у. Они составят соответственно: х = 59,5/8 = 7,44 ч и у = 61,5/8 = 7,69 кг.

Значения полученных сумм подставляем в формулу для последующей проверки. Получим:

2072,00 = 541,75 + 2x510,25 + 509,75; 2072,00 = 2072,00. Следовательно, вычисления выполнены правильно. Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов регрессии

Таблица 5 № п/п х У х2 у2 ху х+у (х + у)2 1 2 3 4 5 6 7 1 1,5 5,0 2,25 25,00 7,50 6,50 42,25 2 4,0 4,5 16,00 20,25 18,00 8,50 72,25 3 5,0 7,0 25,00 49,00 35,00 12,00 144,00 4 7,0 6,5 49,00 42,25 45,50 13,50 182,25 5 8,5 9,5 72,25 90,25 80,75 18,00 324,00 6 10,0 9,0 100,00 81,00 90,00 19,00 361,00 7 11,0 11,0 121,00 121,00 121,00 22,00 484,00 8 12,5 9,0 156,25 81,00 112,50 21,50 462,25 Итого ?=59,5 ?=61,5 ?=541,75 ?=509,75 ?=510,25 ?=121,00 ?=2072,00 2. Рассчитаем теперь коэффициенты b0 и Ь\ по известным формулам: nn

n n Xx? X л "X x X xbe =

i =1 i =1 i=1 i=1

2

( n Л

n

X xi- X x

V i=1

i=1 541,75 x 61,50 - 59,50 x 510,25 „ „„

кг.

b0 = 2 = 3,73

b0 8 x 541,75 - 59,502 n n n

n

Z ХгУг -Z X Z У

b = — ^—i=1T-

n

n

i=1

1 / „ \2

Z x2 - Z x

V i=1 8 x 510,25 - 59,50 x 61,50 = 0 b1 = 8 x 541,75 - 59,502 = 0,53 кг/ч.

Следовательно, уравнение регрессии, т.е. формула, с некоторой вероятностью отображающая зависимость у от х, имеет следующий вид:

у = 3,73 + 0,53х.

3. Для проверки значимости (пригодности) полученного уравнения регрессии применяют специальные приемы. Такую проверку называют проверкой адекватности модели.

Для количественной проверки гипотезы об адекватности можно ис-пользовать так называемый F-критерий (критерий Фишера):

ад

S2

F =

S '

общ

Где Sад - остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности. Она характеризует величину среднего разброса экспериментальных точек Ду относительно линии регрессии, т.е. Ду = yt - yt (Ду есть ошибка в предсказании экспериментального результата на основании математической модели).

Остаточная дисперсия, таким образом, позволяет оценить ошибку, с которой уравнение регрессии предсказывает фактический результат. Следовательно, минимальная величина остаточной дисперсии должна свидетельствовать о более удачном выборе линии регрессии.

Вообще в статистике принято считать, что применение критерия минимальности остаточной дисперсии является вполне надежным способом отбора адекватных экономико-математических моделей.

Чтобы определить, велика или мала ошибка в предсказании эмпирических результатов, ее нужно сопоставить с некоторой статистической величиной (эталоном), принимаемой в качестве критической. Вот почему используется расчетный F-критерий, который затем сравнивают с Ккрит.

Если Fp^ < FJCPHT, то модель признается адекватной, т.е. с заданной степенью достоверности (надежности) она верно предсказывает реальный результат. Если же F^^ > F,^, то вывод обратный: данное уравнение не может с заданной надежностью прогнозировать эмпирические данные.

Проверка адекватности модели по критерию Фишера дает возможность ответить на вопрос, во сколько раз хуже по сравнению с опытом предсказывает результат модель.

Остаточная дисперсия Sад рассчитывается путем деления остаточной суммы квадратов на число степеней свободы f по следующей формуле:

n

Еду2

2 _ i=1

S" f ¦

Здесь число степеней свободы f = n - (k + 1), где n - число опытов в эксперименте (т.е.

объем случайной выборки); k - число изучаемых факторов. Для однофакторного эксперимента имеем f = n - 2 и тогда

XV Е(у-у)2

S 2 = i=1 = J=

ад ^ ^ •

n - 2 n - 2

Вторая характеристика в формуле для расчета F-критерия (знаменатель) - это так называемая усредненная, или общая дисперсия. В качестве таковой принимается квадрат стандартной ошибки S^ . Этот показатель фактически характеризует случайную ошибку для всей выборки, т.е. оценивает несоответствие между конкретными (текущими) значениями результата эксперимента и средним арифметическим.

2 _ i=1 _ i=1

Общая дисперсия рассчитывается так:

I (у - У)2 I (у - У)2

S2 =

общ

f n -1 •

Вернемся к нашему примеру. Оценим статистическую пригодность полученного линейного уравнения. Показатель Sад удобно вычислять в табличной форме (табл.6). Расчет проведем по формулам:

IАУ2 8 86 I (У, - У»2

S2 = = ^ = 1,11 и ^ = ^ = Ц^- = 4,63.

n 8 n 8 Вспомогательная таблица для проверки уравнения на адекватность

Таблица 6 № п/п x i У, у,=3,73+0,53х Уi -У, (У, -У)2 У, -Уi (У, -у) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1,5 5,0 4,53 0,47 0,221 2,69 7,24 2 4,0 4,5 5,85 -1,35 1,822 3,19 10,18 3 5,0 7,0 6,36 0,62 0,384 0,69 0,48 4 7,0 6,5 7,44 -0,94 0,884 1,19 1,42 5 8,5 9,5 8,24 1,26 1,588 1,81 3,28 6 10,0 9,0 9,03 -0,03 0,001 1,31 1,72 7 11,0 11,0 9,53 1,44 2,074 3,31 10,96 8 12,5 9,0 10,35 -1,35 1,882 1,31 1,72 ?=59, 5 ?=61, 5 ?=0,12 ?=8,86 ?=15,51 ?=36,30 Определим величину критерия Фишера:

^асч = — = 0,24

р SU 4,63 .

Определим табличное значение для а = 0,05, а также степеней свободы для n

числителя f1 (Sад) и знаменателя f2 (S^). Они составят соответственно f1 =

- 2, т.к. f = n -(к + 1), где n - число опытов в эксперименте (т.е. составляет объем случайной выборки); к - число изучаемых факторов. Для однофактор- ного эксперимента имеем f = n - 2.

Для второго показателя f2 = n - m, где m - количество вычисленных констант для переменной у, которая соответствует среднемарифметическому у (т.е.

m = 1). Тогдаf = n - 1,а F^ (0,05; f 1; f2) = 3,87 (прил.3).

Поскольку 0,24 < 3,87, то с вероятностью 95 % можно утверждать, что рассматриваемое уравнение адекватно и способно с указанной достоверностью предсказывать экспериментальные результаты.

Если теперь возвратиться к самому обсуждаемому заданию, то можно заметить, что смышленый студент Боб Деканкин вполне управился с порученным делом. Он сообщил пытливому г-ну Тютякину, что на основании имеющихся опытных данных можно уверенно спрогнозировать (с надежностью 95 %) результат сбора медного лома: за 8 часов работы это составит почти 8 кг (3,7 + 0,53x8 = 7,97).

Примечание. В литературе по статистике обычно используются два

подхода к оценке Fp^: либо как отношение S ад / S^, либо как S^ / S ад. Со-ответственно и статистический вывод на основании сравнения вычисленного F-критерия и эталонного F^^ дается с учетом принятого соотношения. Нами

рассматривается версия, когда F^^ = S ад / S^; в то же время в компьютерной

программе используется обратное отношение, т.е. Fpасч — ^общ / S^. Это различие не носит принципиального характера. Важно только помнить, какой при- ем для анализа используется и, следовательно, каким образом дается надлежащее заключение.

<< | >>
Источник: Бараз В.Р.. Корреляционно-регрессионный анализ связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Excel. 2005

Еще по теме 2.4.1. Использование традиционных способов расчета:

  1. 2.4.1. Использование традиционных способов расчета
  2. Способы расчета налогового бремени юридического лица
  3. 50. Основные способы расчетов
  4. 55. Расчеты чеками. Виды чеков и порядок их использования
  5. § 2. Элементы договора аренды
  6. 50. Основные способы расчетов
  7. § 5. Национальный суверенитет
  8. 1. Правовое регулирование и способы расчетов
  9. § 5. Инвестиционная деятельность, осуществляемая в форме соглашения о разделе продукции
  10. 4. БАНКОВСКИЙ ВКЛАД
  11. § 3. Способы расчета показателей вариации
  12. § 4. Способы расчета сезонной динамики
  13. § 4. Способы расчета сезонной динамики
  14. 3.2. ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ: СУЩНОСТЬ И СПОСОБЫ РАСЧЕТА