Глава 9. Цена страховой услуги. Методические основы расчета страховых тарифов

— «обратный» экономический цикл, при котором страховая услуга оплачивается заранее, а предоставляется потребителю в течение промежутка времени, когда могут сказаться такие факторы, как инфляция и изменение самого застрахован­ного объекта;

— возможность реализации услуги в неявной форме, не обязательно в форме стра­ховой выплаты, но также в форме потенциального обещания;

— неопределенность количества и размера будущих страховых выплат;

— возможность передачи части обязательств в перестрахование, что может повлиять на цену услуги.

В имущественном страховании страховые выплаты зависят от характера обязательств страховщика, перечня застрахованных рисков, частоты (вероятности наступления) и тя­жести проявления риска (соотношения фактического убытка и страховой суммы), которые определяются особенностями объекта страхования. В личном страховании на размер стра­ховых выплат влияют вероятность смерти, инвалидности и заболевания застрахованного, характер обязательств страховщика и размер страховой суммы.

Убытки при страховых случаях зависят от случайных факторов, общие закономернос­ти и статистические характеристики которых удается надежно оценивать только при боль­шой совокупности застрахованных. Размер страховой выплаты является случайной величи­ной, предельным значением которой является по определению страховая сумма.

Складывающаяся величина страховых выплат по виду страхования формирует стоимость страховой услуги, которая представляет собой статистически определяемое значение. При увеличении числа застрахованных объектов и общей суммы выплат их величина приближа­ется к установившемуся значению, исходя из которого страховщик устанавливает стоимость страховой услуги по конкретному виду страхования.

ных рисков (крупных объектов и редких событий) представляет определенные трудности и проводится по сложным моделям оценки.

Цена страховой услуги, оплаченная потребителем, является платой за страхование или, по терминологии страхового рынка, — страховой премией.

Страховая премия (страховой взнос, в практике страхования — страховой платеж) — плата за страхование, которую страхователь вносит (уплачивает) страховщику за принятое им на себя обязательство осуществить страховую выплату страхователю при наступлении страхового случая, предусмотренного в договоре страхования.

Страховая премия отражает возмездный характер страховой сделки, совершаемой стра­хователем и страховщиком, и является платой за услугу, оказываемую страховщиком стра­хователю по договору добровольного страхования или в порядке обязательного страхова­ния, предусмотренного законом.

Страховая премия определяет долю участия каждого страхователя в формировании страхового фонда страховщика, который служит источником страховых выплат. Размер страховой премии должен быть достаточным для того, чтобы покрыть ожидаемые претен­зии, финансировать расходы по ведению страховых операций. Поскольку страховая орга­низация является коммерческой организацией, в цену услуги может быть заложена при­быль. На размер страховой премии влияют и такие коммерческие факторы, как темп инф­ляции в стране, размер процентных ставок, уровень конкуренции.

Часть страховой премии, предназначенная для формирования страхового фонда .(толь­ко для страховых выплат), называется нетто-премией, а часть, предназначенная для по­крытия расходов страховщика на ведение дела, и формирование плановой прибыли — нагрузкой. В совокупности они составляют страховую премию, или брутто-премию.

Нетто-премия составляет часть стоимости страхования, которая зависит только от стра­ховых выплат, тогда как полная стоимость определяется нетто-ставкой и затратными состав­ляющими нагрузки. Нетто-премия представляет собой некоторую вероятную ожидаемую ве­личину доли затрат на покрытие убытков от страховых случаев, которая распределится на данный договор, конечное значение которой в момент его заключения неизвестно, однако может быть оценено на основании страховой статистики предыдущего опыта страхования.

Расходы по ведению страховых операций включают:

— аквизиционные, т.е. первоначальные расходы по заключению новых договоров страхования, основную часть которых составляет комиссионное вознаграждение страховым агентам за заключение договоров страхования;

— ликвидационные расходы по урегулированию страховых случаев;

— инкассационные расходы, связанные с затратами на обслуживание наличного денежного оборота поступающих страховых взносов и выплат;

— административно-хозяйственные (управленческие) и прочие расходы страховщика по управлению страховой организацией и хозяйственному обеспечению ее рабо­ты (аренда помещения, зарплата сотрудникам и др.).

Страхование является замкнутым распределением ущерба между страхователями. По рисковым видам страхования страховой фонд формируется только из поступающих страхо­вых премий страхователей. По видам страхования, относящимся к страхованию жизни (ренты, пенсии), страховой фонд формируется из нетто-взносов страхователей и дохода, полученного страховщиком от временного их использования в качестве инвестиционных ресурсов. Эта часть дохода учитывается в виде нормы доходности, принятой страховщиком при расчете страховых тарифов, на основании которых рассчитываются страховые премии.

Величина страховой премии зависит от страховой суммы, особенностей застрахован­ного объекта и объема страховой ответственности страховщика (набора рисков, на случай наступления которых проводится страхование, и установленного размера страховых выплат по каждому из них) и рассчитывается на основании страховых тарифов с единицы страхо­вой суммы либо объекта страхования.

Под влиянием рыночных факторов — спроса и предложения — цена страховой услуги подвержена колебаниям, при появлении конкурентов или уменьшении спроса она снижается. Возможно чрезмерное занижение цены и формирование страховщиком страхового фонда, не­достаточного для обеспечения необходимых страховых выплат. В этом случае говорят о финан­совой неустойчивости страховых операций и низкой платежеспособности страховщика.

Расчет величины страхового фонда, соответствующего страховым обязательствам стра­ховщика, является важнейшей задачей актуарных расчетов страховщика и проводится на осно­ве принципа "эквивалентности обязательств сторон", т.е. предполагается, что должно обеспе­чиваться равенство между поступающими нетто-премиями страхователей (^ НПР) и страхо­выми выплатами страховщика (^ В), т.е. выполняется условие:

ХНПР=£В.

В формировании стоимости страховой услуги участвует нагрузка. По рисковым видам страхования доля нагрузки в страховой премии — { составляет от 15 до 30%, по страхова­нию жизни она меньше и составляет 5—10%, однако при одинаковых с рисковыми видами страхования страховых суммах это обеспечивает достаточно большие абсолютные суммы из- за значительно больших страховых премий.

Величина страховой премии по договору страхования определяется по формуле:

ПР1 = 81 *Тб/100 ,

где: — страховая сумма по договору страхования;

Тб — брутто-ставка в руб. со 100 руб. страховой суммы или в процентах от страховой суммы.

Окончательная величина страховой премии по договору добровольного страхования определяется соглашением сторон при его заключении.

Страховая премия может быть уплачена единовременным взносом либо вноситься по частям, в рассрочку, в размерах и в сроки, установленные при заключении договора стра­хования.

При страховании жизни (по накопительным видам страхования) уплата страховой премии чаще всего осуществляется в форме ежегодных, ежеквартальных или ежемесячных взносов. Сумма взносов, вносимых в рассрочку, больше величины единовременного взно­са, т.к. в формировании страхового фонда по таким видам страхования участвует доход, получаемый страховщиком от инвестирования уже поступившей доли страховой премии (точнее, нетто-премии). При единовременной уплате страховой нетто-премии она обеспе­чит больший инвестиционный доход за период до страховой выплаты по окончании срока действия договора, чем при ее внесении в рассрочку.

Например, при страховании жизни сроком на два года премия, рассчитанная для условно застрахованного в возрасте (х) лет при норме доходности 10% годовых составит 100 тыс. руб. при единовременном взносе, или около 100 тыс. 93 руб. при ежегодных взно- 92

сах, т.е. разница составит 93 руб. С увеличением нормы доходности, принятой страховщи­ком при расчете страховых тарифов, срока страхования и частоты внесения взносов такая разница увеличивается.

Для приведения стоимости страховых услуг в соответствие с действительной степенью риска применяется система скидок и надбавок к базовой премии. Например, при страхо­вании морских судов используется система скидок и надбавок в зависимости от района плавания, года постройки, флага страны приписки и др. Применение скидок и надбавок в зависимости от индивидуальной оценки риска по договору страхования является эффек­тивным приемом, позволяющим страховщику при заключении договора страхования адек­ватно учитывать особенности принимаемого на страхование риска.

Страховой тариф (в практике страхования — тарифная ставка, или брутто-ставка) — ставка страховой премии (страхового платежа) с единицы страховой суммы или объекта страхования, на основании которой рассчитывается страховая премия.

Страховые тарифы по обязательным видам страхования устанавливаются в законода­тельном порядке.

Страховые тарифы по добровольным видам страхования (личного и имущественного) рассчитываются страховщиком самостоятельно на основе страховой статистики с использо­ванием методов теории вероятности, статистики и финансовой математики и получили название актуарных.

Страховая статистика на основе наблюдения множества страховых случаев в прошлом представляет данные для прогнозирования статистической (априорной) вероятности суще­ствования риска в будущем. Анализ полученного массива информации позволяет выявить особенности наступления страховых случаев и провести оценку возможного размера ущерба в будущем. Чем больше число объектов наблюдения, тем более достоверна оценка, т. к. закон больших чисел реализуется только для большой страховой совокупности.

Актуарные расчеты позволяют провести оценку необходимых страховых показателей, в том числе рассчитать вероятность наступления страховых случаев, величину возможных убыт­ков, величину тарифных ставок, необходимый размер страхового фонда и другие показатели.

Страховщик проводит расчет страховых тарифов исходя из условия соответствия собран­ных в страховой фонд взносов страхователей сумме ожидаемых страховых выплат. Поэтому рассчитанные страховщиком тарифные ставки и страховые премии носят обоснованный харак­тер и определяются затратами на страховые выплаты с учетом особенностей застрахованных объектов и объема ответственности страховщика. Чем больше опасностей (рисков) включается в число застрахованных, тем выше страховой тариф. Так, при страховании имущества пред­приятия в перечень рисков, от которых оно страхуется, могут быть внесены: опасность пожара, залива водой, воздействие стихии, хищения и др. При страховании имущества предприятия только от риска огня страховой тариф для различных видов имущества может составить от 0,2 до 0,5 руб. со 100 руб. страховой суммы, тогда как при страховании того же имущества от рисков огня, залива водой и хищения он может составлять от 0,5 до 2 руб. со 100 руб.

При расчете страховых тарифов по рисковым видам страхования используются пока­затели страховой статистики и расчетные показатели за тарифный период — г, который

составляет не менее 1 года, обычно 5 лет, по отдельным видам (страхование сельскохо­зяйственных культур) — 10 лет.

Расчет тарифных ставок по страхованию жизни проводится на основе данных демогра­фической статистики по таблицам смертности, составляемым по итогам переписи населе­ния, и ожидаемой нормы доходности, принятой при расчетах страховщиком.

Страховой тариф (брутто-ставка) состоит из нетто-ставки, предназначенной для фор­мирования страхового фонда для страховых выплат, и нагрузки, предназначенной для по­крытия расходов страховщика по проведению страхования. Соотношение составных частей страхового тарифа отражается в его структуре, которая показывает долю каждой составляю­щей (нетто-ставки, нагрузки) в брутто-ставке.

Методики расчета страховых тарифов по рисковым и по накопительным (относя­щимся к страхованию жизни) видам страхования существенно отличаются, но в любом случае вначале определяют нетто-ставку и, добавляя к ней нагрузку, получают брутто- ставку.

Страховые нетто- и брутто-тарифы рассчитываются по каждому виду и варианту страхо­вания, их величина зависит от особенностей объекта страхования и объема страховой ответ­ственности страховщика, изменение которой приводит к изменению страховых тарифов.

Страховые тарифы по рисковым видам страхования рассчитываются на основе убыточно­сти страховой суммы — экономического показателя, определяемого на основе страховой статистики и характеризующего соотношение страховых выплат и принятых страховых обяза­тельств страховщика за определенный — тарифный период. Этот показатель имеет интег­ральный характер и позволяет в общем виде учитывать многообразие факторов, влияющих на наступление страховых случаев и величину страховых выплат. Например, такой фактор, как погодные условия в отдельные годы, учитывается при автостраховании в показателе убыточ­ности страховой суммы. Рассчитанное значение убыточности принимается в качестве основ­ной части нетто-ставки — То.

Для учета возможного повышения убыточности в отдельные неблагоприятные годы к основной части нетто-ставки добавляют рисковую надбавку —- Тр, которая также рассчиты­вается страховщиком на основании имеющейся статистики. Таким образом, нетто-ставка по рисковым видам страхования Тн складывается из основной части То — убыточности и рисковой надбавки Тр, т.е.:

Тн = То + Тр.

Долю нетто-премии, соответствующую То, в страховой литературе часто называют рисковой премией, а долю, соответствующую Тр, — гарантийной надбавкой.

Структура тарифа по рисковым видам страхования имеет вид:

По видам страхования, относящимся к страхованию жизни, для расчета нетто-ставок используются данные о смертности и продолжительности жизни населения по таблицам смертности, а также норма доходности по инвестированию поступивших страховых нетто- взносов, которые используются страховщиком в качестве инвестиционных ресурсов.

Расчеты тарифных ставок по страхованию жизни в истории развития страхования по­лучили название актуарных, хотя в настоящее время к актуарным относят все расчеты тарифов, включая и по рисковым видам.

Нетто-ставка по страхованию жизни представляет собой сумму нетто-ставок по рис­кам, включенным в объем ответственности страховщика. Она складывается из нетто-став- ки для выплат по дожитию до установленного договором срока или события и нетто-ставки на случай смерти. Структура тарифа по смешанному страхованию жизни имеет вид:

Величина нетто-ставки (и всего страхового тарифа) по страхованию жизни зависит от возраста и пола застрахованного, нормы доходности, принятой страховщиком при расчете тарифов, объема его ответственности, размера и периодичности страховых выплат и взно­сов.

Доля нагрузки в страховом тарифе — Г зависит от расходов страховщика на ведение дела, включая вознаграждение страховым агентам, и формирование плановой прибыли.

Расчет брутто-ставки при известной нетто-ставке и заданной нагрузке Г производится по формулам:

Тб = Тн / (1-0,

Тб = 100 *Тн / (100-0,

где: Тн — нетто-ставка;

Г — доля нагрузки в тарифной ставке в относительных единицах (в первой форму­ле) или в процентах к брутто-ставке (во второй формуле).

По добровольным видам страхования доля нагрузки в тарифной ставке устанавливает­ся страховщиком самостоятельно исходя из соотношения совокупных затрат, связанных с проведением соответствующего вида страхования, и суммы нетто-премий, поступающих за год.

Страховые тарифы по большинству рисковых видов страхования (имущественному, страхованию ответственности) не превосходят 2—3% от страховой суммы. По доброволь­ному медицинскому страхованию они значительно выше и существенно зависят от выбран­ной застрахованным медицинской программы и лечебных учреждений. Наибольшие значе­ния имеют страховые тарифы по страхованию жизни (накопительным видам страхования), по которым тарифные ставки при единовременной уплате страховой премии и малых сроках страхования могут достигать 80—90% от страховой суммы, в зависимости от условий стра­хования, объема ответственности страховщика и нормы доходности, принятой при расчете страховых тарифов. При увеличении срока страхования эти значения постепенно уменьша­ются.

Различают средние тарифные ставки по виду страхования (однородной группе объек­тов страхования или группе рисков) и индивидуальные ставки, в максимальной степени соответствующие степени риска по конкретным договорам страхования.

В целях проведения успешного и безубыточного страхования страховщик проводит оп­ределенную тарифную политику, т.е. осуществляет комплекс мер, направленных на разра­ботку, применение и уточнение базовых тарифных ставок и их применение при заключении договоров страхования. Основные принципы тарифной политики страховщика включают:

1. Обеспечение эквивалентности страховых экономических отношений между стра­ховщиком и страхователем на основе равенства полученной за тарифный период страховой нетто-премии и общей суммы убытков (страховых выплат) в связи со страховыми случаями.

2. Доступность страховых тарифов для широкого круга потенциальных страхователей, т.е. обеспечение экономической целесообразности страхования для потребителя.

3. Стабильность страховых тарифов и расширение по возможности страховой ответ­ственности при постоянных тарифах.

4. Обеспечение самоокупаемости и рентабельности страховых операций.

5. Обеспечение гибкости и индивидуальный подход при разработке и применении страховых тарифов при заключении договоров страхования, т.е. проведение стра­ховщиком гибкой ценовой политики.

На практике важную роль играет дифференциация страховых тарифов, т.е. разработка страховщиком системы базовых тарифов — тарифной сетки с учетом особенностей объектов страхования, застрахованных рисков и объема страховой ответственности. Например, при страховании имущества юридических лиц используются значения страховых тарифов в зави­симости от вида имущества (основные и оборотные фонды, материалы и товарные запасы на складе, незавершенное строительство и т.п.) и перечня застрахованных рисков (огонь, вода, противоправные действия третьих лиц и т.д.). Иногда страховые тарифы зависят от стоимос­ти имущества или страховой суммы по договору страхования. Играет роль использование франшизы, ее вид и величина, а также система страховых выплат, принятая страховщиком по страхованию имущества — пропорциональная или «по первому риску».

Если принимаемый на страхование риск отличается от типичного, для которого рас­считывались базовые тарифные ставки, страховщик корректирует тариф по конкретному договору страхования, применяя повышающие или понижающие коэффициенты к базо­вым ставкам, т.е. использует систему скидок и надбавок к базовой страховой премии. В этих же целях страховой портфель делят на качественно однородные группы — «субпортфе­ли», для каждого из которых устанавливают базовые средние тарифные ставки.

Средняя тарифная ставка применяется в следующих случаях:

— страховщика не интересуют индивидуальные особенности объекта, подлежащего страхованию;

— страховщик не располагает достаточной информацией об уровне риска и особен­ностях объектов, включенных в страховой портфель.

Средние тарифные ставки широко используются по массовым рисковым видам стра­хования, когда наблюдается однородность как по характеру застрахованных рисков, так и по составу застрахованных объектов, а также достаточно большое их число. Такие ставки целесообразно применять при устойчивом показателе убыточности страховой суммы, т.к. иначе, при росте убыточности, страховые операции будут дефицитными.

Индивидуальные тарифные ставки применяются при страховании крупных объектов и редко встречающихся или нетрадиционных рисков, когда страховщик стремится максималь­но точно оценить степень риска и обстоятельства, влияющие на стоимость страхования.

Методика расчета страховых тарифов по рисковым видам страхования

Основу страхового тарифа составляет нетто-ставка, ее величина определяет долю средств страховой премии, направляемую на страховые выплаты.

Нетто-ставка соответствует степени опасности страхового риска, складывающейся из вероятности его наступления и возможной величины убытка. Одновременно нетто-ставка отражает вероятное значение необходимой доли взноса каждого страхователя в страховой фонд в соответствии с той степенью риска, которую он добавляет своим страхованием в общий фонд исходя из объема ответственности страховщика. Достоверный расчет нетто- ставок является важнейшей задачей страховщика.

Расчет нетто-ставок по рисковым видам страхования проводится на основе страховой статистики по страхованию аналогичных объектов при одинаковых условиях. Основными расчетными показателями являются:

— Ч — частота ущерба или вероятность наступления страхового случая — это отноше­

ние числа объектов, пострадавших при страховых случаях (т), к общему числу застрахованных объектов за тот же (тарифный) период (п), т.е. ч = т / п (если риски независимы, а число страховых случаев на объект не превосходит один). Например, при страховании автомобилей от всех рисков вероятность наступле­ния страхового случая составляет 0,12 — 0,15.

Если возможно наступление нескольких страховых случаев по договору или объекту страхования, вероятность страхового случая рассчитывается как совместная вероятность.

— g — тяжесть ущерба (или отношение рисков) — отношение величины ущерба (убыт­

ка), наступившего в результате страхового случая (8в1), к страховой сумме по до­говору страхования (81). При страховании имущества следует учитывать, что оно может быть «недостраховано», т.е. страховая сумма установлена меньше, чем дей­ствительная стоимость имущества. В любом случае далее под тяжестью ущерба понимается его отношение к той страховой сумме, на которую было застраховано имущество, т.к. с позиции страховщика в этом случае важна не столько действи­тельная стоимость имущества, сколько предел его ответственности перед страхова­телем, ограничиваемый страховой суммой.

— — убыточность страховой суммы представляет собой отношение суммы страхо­вых выплат к сумме страховых сумм по всем действовавшим за определенный (тарифный) период времени договорам страхования:

т

У 8вк I

\=\

где: 8вк — страховое возмещение при страховом случае по к-му договору, к = 1, 2, , т;

81 — страховая сумма при заключении 1-го договора, 1 = 1, 2, ................... , п;

ш — число страховых случаев по п договорам страхования, или число объектов, пострадавших от событий, охваченных страхованием; п — общее количество договоров, заключенных за некоторый период времени (I) в прошлом, или общее количество объектов, которые были застрахованы.

В качестве минимального тарифного периода принимается один год.

Убыточность страховой суммы можно также рассчитать по формуле:

= То = ч * (Бв / 8§),

где: 8в — среднее возмещение (страховая выплата) по договору страхования при на­ступлении страхового случая;

— средняя страховая сумма по договору страхования.

Значения q, вв, Бв могут быть оценены по формулам:

Ч = т/п ;

т п

5>к 5; я

Бв = —------ ;8з = ^—

т п

Расчет страховых тарифов проводится страховщиком:

— при разработке новых страховых продуктов. В случае отсутствия страховой воз­можно использование нестраховой статистики. Например, вероятность функци­

онального отказа нового типа спутника на орбите возможно оценить только по данным организаций аэрокосмического комплекса, т.к. нет достаточного опыта страхования таких объектов;

— при периодических проверках соответствия используемых тарифных ставок скла­дывающимся реальным условиям страхования и финансовым результатам — про­верочные расчеты;

— для целей анализа, прогнозирования и оценки возможности снижения стоимос­ти страхования и повышения конкурентоспособности.

С точки зрения особенностей расчета страховых тарифов можно выделить:

— массовые виды страхования, т.е. страхование большого числа однородных, сход­ных по характеру реализации риска и тяжести последствий объектов;

— страхование индивидуальных рисков — единичных крупных рисков и редких со­бытий.

К массовым рисковым видам страхования относится, например, страхование от не­счастного случая, имущества от пожара, грузов и т.п.

К страхованию индивидуальных рисков относится страхование от ураганов и других при­родных катастроф, авиационных, космических, ядерных и других специфических рисков.

Для первого типа страхования, т.е. массовых рисковых видов страхования, характер­но то, что количество застрахованных объектов (договоров страхования) довольно велико, составляет у крупных страховщиков десятки и сотни тысяч. Для такой совокупности усред­ненные оценки дают хорошие результаты и в качестве достаточного показателя при расчете тарифных нетто-ставок часто используется убыточность страховой суммы. Однако на прак­тике при расчете страховых тарифов применяют также и сложные математические модели с учетом законов распределения при описании характеристик случайных величин: размеров страховых выплат по отдельным рискам и портфелю в целом, частоты их наступления и других показателей. Например, для характеристики распределения числа выплат по порт­фелю часто применяют биноминальное и распределение Пуассона, при оценке величины страховых выплат — экспоненциальное, гамма- и распределение Парето и т.д.

При расчетах используется как собственная страховая статистика, так и статистика других страховщиков, которая в развитых странах обычно накапливается специализирован­ными актуарными органами.

Рискам второго типа присуща высокая степень индивидуальности и редкая реализа­ция, что не позволяет использовать усредненные оценки при расчете нетто-ставок. В этом случае используются более сложные законы и модели, например на основе теории подо­бия, модели индивидуального риска и другие.

В общем случае расчет страховых тарифов относится к сфере деятельности математи- ков-актуариев — специалистов в области страховой и финансовой математики, проводится на основе методов этих дисциплин и является самостоятельным направлением, выходящим за рамки данной работы. Поэтому дальнейшее изложение материала ограничим рассмотре­нием методики расчета страховых тарифов на основе убыточности страховой суммы, кото­рая используется в практике страховщиков по распространенным, массовым видам страхо­вания и которая нашла отражение, в частности, в Методиках расчета страховых тарифов по массовым рисковым видам страхования (утверждены Приказом Росстрахнадзора № 02-03­36 от 8.07.93).

По рисковым видам страхования брутто-ставка страхового тарифа рассчитывается на основе нетто-ставки Тн, которую принято рассматривать как сумму двух составляющих:

Тн = То + Тр

Основная часть нетто-ставки — То соответствует среднему сложившемуся уровню выплат страховщика, ее величина принимается равной наблюдаемой убыточности страховой суммы по результатам страхования за предшествующий период. В качестве значения То принимают:

— среднее значение убыточности, рассчитанное по результатам страхования за ряд лет;

— ожидаемое значение убыточности на планируемый период, рассчитанное с уче­том динамики ее изменения в прошлом. В этом случае фактическая убыточность

рассчитывается по каждому году, устанавливается закон ее изменения и рас­считывается значение на перспективу.

Рисковая надбавка Тр предназначена для покрытия возможного отклонения реальных выплат в предстоящий период от их среднего уровня.

Недостатком использования среднеарифметического значения убыточности за ряд лет является то, что оно не отражает развития застрахованного риска во времени. Поэтому удоб­нее представлять значение убыточности, рассчитанное в динамике по годам. Используя да­лее выбранный закон аппроксимации, оценивают прогнозируемый уровень убыточности на предстоящий период, например, год. В простейшем случае используется модель линейного тренда, при которой фактические данные об убыточности страховой суммы выравниваются на основе линейного уравнения. Полученное значение принимают в качестве основной час­ти нетто-ставки То, а значение рисковой надбавки — Тр оценивается одним из известных методов, например, как среднее квадратическое отклонение от выровненных значений.

Изложенная методика используется для расчета страховых тарифов по видам страхования, по которым имеется надежная страховая статистика и возможно оценить величину и динамику убыточ­ности страховой суммы за ряд, п лет. Предполагается, что портфель договоров страхования не будет подвергаться влиянию опустошительных событий. Точность оценки существенно повышается, если зависимость убыточности от времени близка к линейной. Такой случай иллюстрирует график на стр. 100. Значения убыточности за период 1996—2001 гг., приведенные на графике, рассчитаны страхов­щиком по фактическим данным проведения страхования. Убыточность на 2001 г. является прогно­зируемым значением, рассчитанным с учетом линейного тренда.

При использовании линейного тренда в качестве закона изменения убыточности стра­ховой суммы расчет тарифных ставок проводится следующим образом.

По имеющимся исходным данным для каждого года рассчитывается фактическая убы­точность страховой суммы

На основании полученного ряда значений основная часть нетто-ставки То определяет­ся как прогнозируемая убыточность на очередной год, рассчитанная с использованием мо­дели линейного тренда по формуле:

То = УЧ = а0 + а1* ^

где: У* I — выровненный показатель убыточности страховой суммы; ао, а1 — параметры линейного тренда;

I — порядковый номер года.

Динамика убыточности за период 1996 — 2001 гг.:

Параметры уравнения линейного тренда определяются методом наименьших квадра­тов решением системы уравнений:

]ГУ1 = а0*п + а1* £4

Х(¥1-1) = а0.£1 + а1.]Г12

1=1 1=1 1=1

Для определения рисковой надбавки Тр рассчитывается среднее квадратическое откло­нение фактических значений убыточности от выровненных значений: где: п — число лет, за которое учитывается убыточность.

|£(¥Ч-¥1)2 (п-1)

Рисковая надбавка определяется по формуле:

Тр = /3(у,п) * а,

где: /3(у, п) — коэффициент, зависящий от выбранной гарантии безопасности у (ве­роятности, с которой собранных взносов должно быть достаточно для страхо­вых выплат) и числа анализируемых лет наблюдений — п, выбирается по таб­лице.

Таблица

Табличные значения коэффициента гарантии безопасности

Далее определяют значение нетто-ставки:

Тн = То + Тр.

Брутто-ставка Тб рассчитывается по ранее приведенным формулам, например:

Тб = Тн / (100 - О,

где: 1 (%) — доля нагрузки в тарифной ставке, установленная страховщиком (в про­центах).

По видам страхования, по которым прогнозируемая убыточность на очередной год, рассчитанная по модели линейного тренда, составляет величину меньше средне­арифметического фактической убыточности за ряд лет (выровненная убыточность убы­вает) при расчете нетто-ставки за расчетное значение убыточности принимается боль­шее из значений, т.е. среднеарифметическое значение фактической убыточности. Этим снижается инфляционное влияние и повышается финансовая устойчивость стра­ховых операций.

Если отдельные факторы оказывают особенно заметное влияние на размеры убытков при страховых случаях и возможно их выделить и собрать статистику влияния на страховые выплаты, то при расчете убыточности их выделяют в самостоятельную составляющую. Расчет в этом случае проводят на основе суммы двух значений убыточности: вследствие выделенного фактора и по остальным причинам. Расчет сетки тарифных ставок по виду страхования для различных объектов и рисков проводится аналогичным образом по груп­пам однородных объектов и рисков на основе соответствующей выборочной страховой ста­тистики.

Дифференциация тарифов проводится также путем применения коэффициентов повышения и понижения к рассчитанной базовой тарифной ставке по виду страхова­ния. Например, в Германии по огневому страхованию страховщики применяют нор­мативные коэффициенты к базовым ставкам, учитывающие разнообразие объектов стра­хования, видов установок и сооружений, использованных строительных материалов, расположения и т.д.

При расчете страховщиком тарифных ставок с использованием «чужой» страховой статистики должно обеспечиваться ее соответствие страховым рискам и условиям страхова­ния страховщика.

В качестве примера приведем расчет тарифных ставок по страхованию имуще­ства предприятий. Предполагается, что имеется страховая статистика по результа­там работы данного страховщика за несколько лет как в целом по виду страхования, так и по отдельным группам имущества и страховым рискам. Оценка значений та­рифных ставок проводится на очередной год. Ниже приведен расчет базовой тариф­ной ставки в целом по виду страхования (все данные отнесены на 100 руб. страхо­вой суммы). *

Основная часть нетто-ставки То определена как прогнозируемая убыточность на оче­редной год, рассчитанная по модели линейного тренда.

При расчете рисковой надбавки Тр среднее квадратическое отклонение фактических значений убыточности от выровненных значений определено при значении коэффициента гарантии безопасности /3(у,п), соответствующего уровню гарантии безопасности у = 0,95 и числу лет наблюдений п = 5. Страховщик устанавливает нагрузку по виду страхования в размере 1=30%.

Исходные значения убыточности страховой суммы по виду страхования и промежу­точные результаты расчета представлены в таблице.

vspace=0> Рассчитанные значения коэффициентов составляют:

аО = 0,744; а1 = 0,038

Основная часть нетго-ставки равна:

То = У6 = 0,744 + 0,038 * 6 = 0,97

Рисковая надбавка при у= 0,95, п= 5 и соответствующем значении /3 (у,п) = 2,85 составляет:

Базовые ставки по пакету рисков (страхование от пожара, действия воды и поврежде­ний) составляют:

— здания и отдельные помещения, сооружения, хозяйственные постройки — 0,75 (с ответственностью за противоправные действия третьих лиц — 1,05);

— оборудование — 0,90 (с ответственностью за противоправные действия третьих лиц — 1,30);

— продукция, товары, сырье и материалы — 0,90 (с ответственностью за противо­правные действия третьих лиц — 1,50);

— инвентарь, мебель — 0,80 (с ответственностью за противоправные действия тре­тьих лиц — 1,40).

Тарифные ставки по пакету рисков составляют величину меньше, чем простая сумма ставок по включенным рискам, если их одновременная реализация невозможна, как это часто наблюдается на практике.

При ограниченном объеме страховой статистики (например, только за год) достовер­ность оценки страховых тарифов существенно уменьшается. Однако для приближенной оценки диапазона разброса значений убыточности может быть использована формула из упоминавшихся методик Росстрахнадзора. В этом случае после расчета То как убыточнос­ти страховой суммы на основании имеющейся статистики за год величина рисковой над­бавки Тр определяется по следующей приближенной формуле:

Тр = 1,2*То *а(т)%Е^,

где: а(у ) — коэффициент гарантии безопасности, зависит от принимаемой при рас­чете гарантии безопасности — у того, что собранных средств страхового фонда окажется достаточно для всех страховых выплат. Коэффициент а(у) определяется по таблице:

Таблица

q — вероятность наступления страхового случая;

п' — число договоров страхования, планируемое на очередной год.

Значения То и д рассчитываются по имеющимся данным за прошедший год, и’ уста­навливается страховщиком в соответствии с перспективным планом работы или бизнес- планом.

Приведенная формула наглядно демонстрирует влияние размера страхового портфеля на величину тарифной ставки, т.е. чем больше договоров страхования и масштабы бизне­са, тем более низкие значения тарифных ставок могут быть использованы страховщиком. Например, при вероятности наступления страхового случая q = 0,2, рассчитанном значе­нии То = 1,0 и уровне гарантии безопасности у = 0,95 в зависимости от планируемого числа договоров п = 1000 или и' = 10000 значения рисковой надбавки Тр составляют соответственно 0,125 или 0,039, что дает значения нетто-ставки 1,125 или 1,039. Таким образом, разница значений нетто-ставки составляет более 8%.

Методика расчета страховых тарифов по страхованию жизни

Стоимость страховых услуг по договорам страхования жизни зависит от двух важных их особенностей: длительных сроков страхования, в течение которых изменяются возрастные характеристики застрахованных лиц, и наличия инвестиционной составляющей, участву-

103

ющей в формировании страхового фонда. Эти особенности определяют специфику расчета страховых тарифов, который проводится с учетом следующих обстоятельств:

— увеличение возраста застрахованного в течение срока действия договора страхо­вания жизни изменяет вероятность наступления страхового случая, которая оце­нивается на основании показателей таблиц смертности;

— страховые суммы, подлежащие выплате при наступлении страхового случая, фор­мируются с участием инвестиционного дохода от размещения средств страховых резервов (уплаченной нетто-премии).

Основными рисками по договорам страхования жизни являются:

— дожитие до даты или события, определенного договором страхования;

— смерть в течение срока действия договора.

Обязательства страховщика по договору страхования жизни, определяющие необхо­димый размер страхового фонда, складываются из перечня застрахованных рисков, уста­новленных в договоре, страховых сумм по каждому из них, варианта выплаты страховой суммы — единовременно или в рассрочку, наличия дополнительных условий, например, возврата взносов при досрочном прекращении договора страхования. Размер страхового фонда и соответственно величина страховых тарифов зависят также от периодичности внесения страхователем страховых взносов, т.к. формирование страхового фонда (страхо­вых резервов) по страхованию жизни осуществляется с участием инвестиционной состав­ляющей, поэтому различные сроки внесения страховых взносов приводят к различной величине накопленного инвестиционного дохода, участвующего в формировании страхо­вого фонда.

Таким образом, можно определить следующие особенности расчета тарифных ставок по страхованию жизни:

— расчеты проводятся на основе демографической статистики методами теории ве­роятности;

— при расчетах проводится исчисление долгосрочных финансовых обязательств с применением методов финансовой математики;

— тарифные ставки складываются из составляющих ставок по каждому риску, вклю­ченному в объем обязательств страховщика.

Расчеты тарифных ставок по страхованию жизни проводятся, как уже отмечалось, актуарными методами, т.е. методами, включающими аппарат теории вероятности, демог­рафической статистики и финансовой математики.

Нетто-ставки страховых тарифов по страхованию жизни исчисляются исходя из усло­вия обеспечения эквивалентности между страховыми взносами и доходностью от инвести­рования средств страховых резервов, с одной стороны, и размером подлежащего выплате страхового обеспечения, с другой.

Размер нетто-ставки страхового взноса по страхованию жизни исчисляется в зависи­мости от следующих факторов:

1) возраста и пола страхователя на момент вступления договора страхования в силу, либо застрахованного лица, если договор страхования заключается о страховании третьего лица;

2) вида, размера и срока выплаты страхового обеспечения;

3) срока и периода уплаты страховых взносов;

4) срока действия договора страхования;

5) планируемой нормы доходности от инвестирования средств страховых резервов по страхованию жизни, принятой при расчете;

6) наличия обязательств страховщика по возврату взносов при досрочном прекра­щении договора и других условий.

Страховое обеспечение (страховая сумма) по договорам страхования жизни может вып­лачиваться страховщиком в виде единовременной выплаты или серии последовательных выплат — ренты (срочной — в течение некоторого срока, или пожизненной).

При расчете страховых тарифов по договорам страхования жизни, заключенным на случай смерти застрахованного, имеют в виду, что страховой случай и обязанности по страховой выплате возникают у страховщика в течение срока, установленного в договоре страхования — срока страхования. При этом договор страхования может быть заключен на определенный срок либо пожизненно. В договоре страхования жизни выделяют период уплаты страховой премии, выжидательный период и период страховых выплат.

Период уплаты страховой премии — срок, определенный в договоре страхования жиз­ни, в течение которого страхователь обязан уплатить установленную договором страховую премию. Страховая премия может быть уплачена единовременным платежом или в рассрочку в течение срока, установленного в договоре страхования, в том числе до момента события (возможного страхового случая), с наступлением которого у страховщика возникает обязан­ность по страховой выплате. При уплате страховой премии в рассрочку при определении величины страховых взносов используются коэффициенты рассрочки, величина которых оп­ределяется как аннуитет для соответствующей периодичности и условий внесения взносов.

Выжидательный период устанавливается в договорах страхования жизни, заключен­ных с условием дожития застрахованного до срока, определенного в договоре страхования, и представляет собой период времени между исполнением страхователем в полном объеме обязательств по уплате страховой премии и наступлением периода страховых выплат.

Период страховых выплат — срок, в течение которого страховщик исполняет обязатель­ства по страховым выплатам, устанавливается в договоре страхования. Страховая сумма мо­жет быть выплачена единовременно или в виде страховой ренты: срочной или пожизненной.

Рента — последовательные выплаты, производимые в сроки, установленные догово­ром страхования, например, ежегодно, раз в месяц и т.п. Различают: немедленную ренту, выплата которой производится с первого года действия договора, и отсроченную, выплата которой начинается после дожития застрахованного до определенного срока. Рента может быть пожизненной — до момента смерти застрахованного, и временной — выплачивается в течение определенного срока или определенное число раз. Рента пренумерандо выплачива­ется в начале каждого страхового года или другого установленного договором страхования периода, рента постнумерандо выплачивается в конце очередного периода, установленно­го для страховых выплат.

По размеру выплачиваемой ренты (пенсии) различают условия страхования с постоян­ной и переменной величиной страховых выплат. В последнем случае размер ренты (пенсии) изменяется во времени, следуя установленной договором страхования закономерности.

Аннуитет — ожидаемая дисконтированная (приведенная на определенный момент дей­ствия договора страхования) стоимость последовательности страховых взносов или выплат с учетом доживающего до этого срока числа плательщиков взносов или получателей вып­лат. Аннуитеты используются в актуарных расчетах для оценки современной или наращен­ной стоимости ренты (пенсии), а также в качестве коэффициентов рассрочки при опреде­лении размера тарифных ставок, уплачиваемых в рассрочку с определенной периодичнос­тью (годичных, месячных и т.п.), применяются также при расчете выкупных сумм, при выплате страхового обеспечения в виде ренты (пенсии) и т.п. Аналогично тому, как при­нято для ренты, различают аннуитеты пренумерандо и постнумерандо.

Расчет страховых тарифов по страхованию жизни проводится с использованием пока­зателей демографической статистики (по таблицам смертности), характеризующих вероят­ность застрахованного лица дожить до установленного договором события или срока или умереть, а также с учетом прогнозируемой страховщиком нормы инвестиционной доход­ности в течение срока действия договора.

Основными показателями, используемыми при расчете страховых тарифов, являются следующие данные таблиц смертности:

— число лиц, доживающих до возраста полных (х) лет — 1х;

— число лиц, умирающих при переходе от возраста (х) к возрасту (х+1) полных лет — bgcolor=white>97469 87 0,000904 . . . 30 91306 604 0,006615 30 96192 142 0,015553 40 83333 1087 0,013044 40 94086 315 0,003780 41 82246 1146 0,013934 41 93771 344 0,004182 42 81100 1208 0,014895 42 93427 379 0,004673 43 79892 1273 0,015934 43 93048 420 0,005257 44 78619 1344 0,017095 44 92628 464 0,005902

Значение показателей, приведенных в таблице смертности:

(х) — лицо в возрасте полных х лет;

1х — показатель таблицы смертности, характеризующий число лиц из наблюдаемой совокупности, доживших до возраста х лет. Значения 1 приводятся в таблице смертности при целых х (х = 0,1,2,...,\у, где \у — предельный возраст таблицы смертности);

с1х — Iх — /х+1— показатель таблицы смертности, характеризующий число лиц, умер­ших в возрасте от х лет до возраста х+1 год;

1ЩХ — вероятность для лица в возрасте х лет умереть в течение предстоящих п лет.

На основании данных таблиц смертности страховщики рассчитывают показатели, не­обходимые для расчета тарифных ставок и оценки необходимого размера страхового фонда, в том числе следующие:

1

п Рх |

— вероятность застрахованного лица, вступающего в страхование в возрасте (х) лет, дожить до возраста (х+п) полных лет;

\ _\

д _ _£=] _ Ах Ах + п

цЧх 1 1

— вероятность лица в возрасте х лет умереть в течение предстоящих п лет;

п\Я.х — вероятность того, что лицо возраста х лет умрет в возрасте от (х+п) до (х+п+1) лет (отложенная вероятность).

При расчете страховых тарифов по страхованию жизни используются показатели дол­госрочных финансовых расчетов, приведем два из них:

— I — эффективная процентная ставка. Определяет размер дохода, получаемого в конце года при инвестировании единичной денежной суммы на один год. При инвестировании единичной денежной суммы с эффективной процентной став­кой \ через год будет получена сумма, равная (1+0. у — дисконтирующий множитель за 1 год , определяемый в соответствии с формулой:

у = 1/(1 + 0

Дисконтирующий множитель показывает, какая сумма должна быть инвестирована в начале года с эффективной процентной ставкой [ для получения в конце года денежной суммы в размере 1.

Современная (дисконтированная) стоимость будущей выплаты (взноса) равна вели­чине этой выплаты (взноса) 8, умноженной на дисконтирующий множитель за соответ­ствующее число лет:

Величина уп называется дисконтирующим за п лет множителем.

Норма доходности, принимаемая при расчетах страховых тарифов, может быть посто­янной в течение срока действия договора страхования или, в общем случае, переменной. Доход от инвестирования средств страховых резервов определяется по формуле сложных процентов.

При проведении актуарных расчетов по страхованию жизни используют международ­ную систему актуарных обозначений, в окончательной редакции утвержденную в 1954 году 14-м Международным конгрессом актуариев. Ее важнейшей особенностью является то, что применяемые обозначения отражают основные условия договора страхования и финансовые обязательства сторон. Для этого к каждому основному символу, принятому для обозначения нетто-ставки или другого показателя, добавляют знаки и символы, рас­положенные в четырех зонах индексов сверху и снизу, слева и справа от основного симво­ла, характеризующие условия исполнения договора. Например, индекс справа внизу (х) характеризует возраст застрахованного на момент заключения договора страхования, а если буквы индекса внизу справа от символа разделены двоеточием, то последний знак (^) в индексе означает срок действия договора страхования или период выплаты ренты (пенсии). Индекс вверху справа от основного символа, заключенный в круглые скобки (т), предназначен для указания числа периодических выплат ренты и пенсии или уплаты страховых взносов в течение года.

Примеры обозначений:

^х'Ц ~~ единовременная нетто-ставка по договору страхования на срок п лет для лица в возрасте х лет с условием выплаты страховой суммы выгодоприобретателю сразу после смерти застрахованного (черта над символом), если она наступит в течение срока действия договора;

а_

п| х:к| .

— аннуитет постнумерандо для лица в возрасте х лет сроком к лет, с началом выплат через п лет после начала действия договора страхования (индекс слева внизу, отделенный вертикальной чертой) и частотой выплат ш раз в год.

Символом а (с двумя точками сверху) обозначается аннуитет пренумерандо.

Стоимость аннуитета для серии последовательных взносов или выплат рассчитывается следующим образом. Рассмотрим, например, стоимость серии годичных взносов за к лет, уплачиваемых в начале года, приведенную к началу срока действия договора страхования с учетом числа доживающих плательщиков взносов на каждую последующую дату — аннуитет пренумерандо. Такой аннуитет можно представить схемой, из которой видно, что если принять стоимость каждого очередного вносимого взноса равной 1 и учитывать приращение со временем стоимости внесенных средств исходя из нормы доходности за год — 1, то стоимость такой серии взносов, приведенную к началу срока действия договора (момент х) и приходящуюся на каждого вступающего в страхование, можно определить следующим образом (см. рисунок на стр. 109).

Стоимость единичных взносов, приведенная к моменту начала договора (х) через коэффициенты дисконтирования, будет складываться как сумма числа доживших, уплачи­вающих взнос за каждый очередной год, умноженная на единичный взнос — 1 и умножен­ная на дисконтирующий множитель в степени, соответствующей номеру года внесения взноса минус единица, т.е. последовательно, на множители: у°,г V ук |.

108 ’ ’

111 11 Т Т Т П Т т

время

0 1 2 ' ' К-2 К-1 К

1---- 1------ 1------- ^ ^---- 1------ 1------------------- 1 )— возраст

х х+1 х+2 х+К-2 х+К-1 х+К

Т смерть

х :"к1

Приведенная стоимость взносов, распределенная на число вступающих в страхование 1х, т.е. аннуитет пренумерандо а^,, равен:

•• _ 1х + 1х + 1*г + 1х + 2*у^ + + 1х + к-1*у^~^ х4р1 (1-х)

а-, =-------------------------------- \ = I &

* Х ".Х.

Здесь для удобства при суммировании введена переменная I. Величина аХ:к| соответствует приведенной на начало действия договора страхования ожидаемой стоимости взносов в размере единичной денежной суммы, уплачиваемой ежегодно в течение срока, установленного догово­ром страхования к лет, в начале каждого страхового года при условии, что застрахованный жив, т.е. уплачивается (к—1) раз. Полученное значение одновременно является коэффициентом рас­срочки для перехода от единовременного взноса по договору страхования к ежегодным взносам. Аналогичным образом выводятся формулы для оценки приведенной на начало срока действия договора страхования стоимости взносов, уплачиваемых с любой периодичностью, стоимости серии выплат ренты, начиная с какого-то момента в будущем и другие.

Методика расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхова­нию жизни, включает следующие основные этапы:

— по каждому риску рассчитывается ожидаемая стоимость страхового обеспечения на единицу страховой суммы, приведенная на момент заключения договора стра­хования (современная ожидаемая стоимость страхового обеспечения). Получен­ная величина принимается за единовременную нетто-ставку для конкретного риска. Совокупность нетто-ставок по всем составляющим рискам, рассчитанная с уче­том их характера и соотношения, представляет собой единовременную нетто- ставку по договору страхования;

— с учетом порядка уплаты взносов страховой премии, установленного договором страхования, определяется их ожидаемая стоимость, приведенная на начало дей­ствия договора страхования. В том случае, если условия договора страхования предполагают уплату страховой премии в рассрочку, полученная величина ис­пользуется в качестве коэффициента рассрочки для расчета периодической годо­вой (месячной, квартальной, полугодовой) нетто-ставки;

— нетто-ставка по договору страхования, предусматривающему уплату страховой премии в рассрочку, определяется на основе единовременной нетто-ставки и соответствующих условиям страхования коэффициентов рассрочки;

— брутто-ставка рассчитывается на основании полученного значения нетто-ставки и принятой страховщиком величины нагрузки с учетом в необходимых случаях ха­рактера распределения во времени расходов, входящих в нагрузку страховщика.

Изложенную методику проиллюстрируем на примере срочного договора страхова­ния жизни на п лет, по условиям которого страховщик обязуется за внесенные страхо­вателем взносы выплатить застрахованному по окончании срока действия договора стра­ховую сумму Б либо выплатить выгодоприобретателям такую же страховую сумму в случае смерти застрахованного в течение срока действия договора. Исходные условия расчета:

— застрахованными рисками (страховыми событиями) являются: дожитие застра­хованного до окончания срока действия договора или его смерть в течение этого срока. С наступлением страхового случая страховщик обязуется выплатить уста­новленные договором страховые суммы;

— срок действия договора страхования — п лет;

— взносы вносятся единовременно либо в рассрочку с ежегодной или ежемесячной периодичностью;

— возраст застрахованного на момент заключения договора страхования х полных лет;

— выплата по смерти осуществляется сразу после ее наступления (как вариант — в конце года смерти).

Условия договора иллюстрирует рисунок, приведений ниже.

Тб

Бем

Т^н

X х+1 х+2 х+3

В соответствии с изложенным порядком расчета определим вначале единовременные нетто-ставки по рискам, включенным в объем ответственности страховщика, и, далее, общую нетто-ставку — как сумму составляющих.

Страховые суммы на дожитие и смерть в общем случае могут быть различными, в данном примере принимаем их одинаковыми, т.е. 8д = 8см = 8.

Нетто-ставка на дожитие определяется как сумма средств страхового фонда, необходи­мых для выплат страховых сумм всем застрахованным, дожившим до окончания срока дей­ствия договора страхования (выплат по дожитию), приведенная (продисконтированная с учетом инвестиционного прироста взносов) на начало действия договора страхования и де­ленная на всех вступивших в страхование. Если представить, что число застрахованных в момент заключения договора страхования составляет 1х, а согласно таблице смертности до возраста полных п лет доживут только 1х+п человек, то необходимая сумма средств составит:

Фд = 1х+п*уп *3.

Разделив полученное значение на число вступивших в страхование 1х, определим нет­то-ставку на дожитие для названных условий страхования при страховой сумме 8. С учетом принятого обозначения единовременной нетто-ставки на дожитие — пЕх формула для ее расчета запишется следующим образом:

1Х

Формула расчета единовременной нетго-ставки для выплат на случай смерти выводит­ся сходным образом, если сумму средств, выплачиваемых в связи со смертью застрахован­ных в течение срока действия договора страхования, рассматривать как сумму средств, выплачиваемых ежегодно по окончании года смерти застрахованных. Тогда формулу для расчета нетто-ставки (пАх) для выплат по смерти можно записать в виде:

А ^ (1х*Т+бх + 1*У^+........................... +... 6 = 1п(1+1).

Полная единовременная нетто-ставка определится как сумма: Тн=пЕх+пАх •

Брутто-ставка при нагрузке, установленной страховщиком, — f составит:

Тб = Тн/(1—О,

„Ах = Ах - ^(1 + 1) *„ Ах

О

Для упрощения записи актуарных формул и снижения трудоемкости расчетов, прово­димых вручную, используются специальные коммутационные функции: Ох,Мх,8х,Сх,Мх,11х, которые представляют собой:

\¥

Е>х = 1хуХ.Ых = 1>х + 0х + 1 + " = 1?хЕ>1.

\У XV

Б = N + N ,+...= I N = I а - х + 1)Б. х х Х+1 1=х 1 1=х 1

\¥

п х + 1Л М- = С + С *+...= X С.

С = у а х х х +1 ^ г

х х. г = х

XV XV

Я = М + М .+...= I М = I 0 - х + 1)С х х Х+1 1=х 1 1=х 1

где : — предельный возраст по таблице смертности.

Используя коммутационные функции и вводя дополнительные множители (подобно тому, как ниже показано для пЕх), приведенные ранее формулы расчета единовременных нетго-ставок на дожитие и смерть можно записать в следующем виде:

1 V11 1

р _ Х + П * с _ X + П

" х і і

X X

М -М

х х + п * с.

и 9

х

... ,_____ М -М

х х + п *8-7bgcolor=white>2028,25 60 50142 2101 0,041901 1520,0 12968,2 785,90 70 28542 2125 0,074452 483,1 3151,0 304,71 100 26 26 1,000000 0,1 0,1 0