2. Нелинейная регрессия

Примером данного типа регрессий являются полиномы разных степеней y = a + b-x + c-x2+d-x3+u; гиперболы у = а + — + и.

х

В общем виде квазилинейная регрессия записывается в виде:

f. = а0 + а^ (х) + a2F2 (х) +... + apFp (х), (4.4) где i71(x),i72(x),... - функции от объясняющих переменных. Они не содержат других параметров. Это могут быть

функции: Fj(x) = sinx,F2(x) = — и пр. Квазилинейную

х

функцию для удобства можно представить в виде линейной множественной регрессии, проведя замену переменных. Например, в полиноме y = a + b-x + c-x2+d-x3+u заменим х = zx\x2 - z2;x3 = z3; а = a0;b = аг,с = a2,d = а3. Тогда уравнение можно записать в виде:

ft = а{) + alzl + a2z2 + аъгъ.

Второй класс регрессий характеризуется нелинейностью по оцениваемым параметрам. Эти регрессии назы-ваются существенно нелинейными регрессиями. Оценить параметры обыкновенным методом наименьших квадратов невозможно, т.к. имеют место нелинейные уравнения относительно неизвестных параметров.

Существенно нелинейными регрессиями являются следующие функции, наиболее часто используемые для описания экономических процессов:

степенная функция ji=axb; (4.5)

показательная функция ft=abx ; (4.6)

логистическая функция € = —— ,

1 + Ье сх

или у = а (4.7)

1 + е

Использование регрессий данного класса связано с вычислительными трудностями, т.к. эти уравнения не до-пускают непосредственного применения обыкновенного метода наименьших квадратов. Линеаризация уравнения осуществляется посредством логарифмирования, для функции (4) преобразование имеет следующий вид:

logj2= loga + 6-logx. (4.8)

При замене log j2= ?; log а = b0; logx = и, уравнение (4.8) принимает вид линейной функции z = b0+bu .Логарифмирование показательной функции (4.6) приводит к выражению log j? = loga + x log b, а логистической соответственно:

1п(а/ j?-1) = In b-cx, In {a! jL-1 ) = b-cx.

Нелинейные регрессии второго класса представляют большой экономический интерес. Наибольшую известность из них приобрели производственные функции. Более подробно с точки зрения прикладных аспектов они рассмотрены в следующем разделе в главе "Прогнозирование экономического роста".