2.2. Построение уравнения регрессии

Постановка задачи: по имеющимся данным п наблюдений за совместным изменением двух переменных показателей х и у {(х_г-,у_г), /=1,2,...,п} необходимо определить аналитическую зависимость у = Дх), наилучшим образом описы­вающую данные наблюдений.

Результаты наблюдений удобно представлять в виде таблицы

Таблица 2.1

Каждая строка таблицы представляет собой результат одного наблюдения (х_гу).

Поясним понятие зависимости у = Дх), наилучшим образом описывающей данные наблюдений. Значения х, у₁ из каждой строки можно рассматривать как координаты точки (х_г-,у_г) на координатной плоскости ху.

Рис. 2.1. Поле корреляций

Зависимости у = Дх) соответствует некоторая кривая на плоскости. Чем ближе данная кривая подходит ко всем точкам поля корреляций, тем лучше за­висимость у = Дх) описывает исходные данные.

Для формализации этого понятия рассмотрим разность между е₍ расчетны­ми (теоретическими, модельными) у I = Дх_г) и наблюдаемыми у_г- значениями

^ei = У і - Уі-Наилучшей будем считать такую зависимость, для которой сумма квадратов отклонений принимает минимальное значение, т. е.

^S = ZC^yi - Уі)² = ^{min- (2-5)}

Построение уравнения регрессии предполагает решение двух задач (или, другими словами, осуществляется в два этапа):

1) спецификация модели (выбор вида аналитической зависимости у = f(x));

2) оценка параметров выбранной модели (определение численных значе­ний параметров на основе массива наблюдений).

1.1.1. Спецификация модели

Парная регрессия применяется для моделирования зависимости, если име­ется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Для выбора вида аналитической зависимости можно использовать сле­дующие методы:

- графический (вид зависимости определяется на основе анализа поля корреляций);

- аналитический (на основе качественного анализа изучаемой взаимосвязи);

- экспериментальный (построение нескольких моделей различного вида с выбором наилучшей согласно применяемому критерию качества).

Визуальный анализ поля корреляций (рис. 2.1) позволяет определить фор­му кривой регрессии, ее особенности. Зная типичный вид графиков различных функций можно подобрать соответствующую аналитическую зависимость.

Примером применения аналитического метода может служить зависимость между затратами (у) и объемом производства (х). Считая, что затраты прямо пропорциональны объему производства, зависимость между ними можно пред­ставить в виде линейной функции

у = а + Ь-х,

где а - часть затрат, не зависящая от объема производства, Ь - дополнительные затраты на производство единицы продукции.

Разделив обе части последнего уравнения на объем производства х, полу­чим зависимость удельных затрат (2 = у/х) на производство единицы продукции от объема производства

У і ^а г = — = Ь + — .

х х

При построении модели зависимости спроса товар от его цены при выборе вида зависимости следует учитывать, что при увеличении цены спрос падает. В этом случае могут использоваться следующие зависимости:

y = a- b-x, 1

у =—Г^,

a + bx

у = в^а~^Ьх, (Ь>0).

Если из соображений экономической теории следует, что величина изме­нения зависимой переменной у пропорциональна значению независимой пере­

менной х, то можно выбрать полиномиальную, степенную или показательную зависимости (см. п. 2.1).

Если предполагается, что значение зависимой переменной у при увеличе­нии значения независимой переменной х не может превысить некоторого пре­дела, то можно выбрать гиперболическую у = а +^Ь или логистическую

х

К

у =----------- — зависимости.

1 + а • в~^ы

В случае, если в рассматриваемой области изменения фактора хрезульта­тивная переменная упринимает минимальное или максимальное значение, в уравнение регрессии включают переменные х не только первой, но и второй степени, например

у = а + Ь₁х + Ь₂х.

В качестве критерия качества модели может использоваться либо средняя

—V (у_{ - y_t)² , либо остаточная диспер- n

^{сия В}Шд = - Е0⁾» - Уг)².

П

Этот подход легко реализуем при наличии соответствующих вычисли­тельных средств. Но он не является определяющим, так как в эконометрике бо­лее важным является не способность модели соответствовать имеющемуся мас­сиву данных наблюдений, а ее способность раскрывать существующие законо­мерности в экономических явлениях и процессах и интерпретация полученных с ее помощью результатов.

1.1.