Линейная регрессия

п (X Уххх )-Х Ух X х1.

Для удобства вычислений используют вспомогательную таблицу (табл. 9.1), в которой рассчитываются необходимые суммы.

Таблица 9.1

Вспомогательная таблица для линейной функции

Задача № 9.01

Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города.

Таблица 9.2

Исходные данные задачи № 9.01

Постройте график исходных данных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и затраченным временем, проанализируйте применимость метода наименьших квадратов, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионной связи и сделайте прогноз времени поездки на 2 мили.

Помимо расстояния на время поставки влияют пробки на дорогах, время суток, дорожные работы, погода, квалификация водителя, вид транспорта. Построенные точки не находятся точно на линии, что обусловлено описанными выше факторами. Но эти точки собраны вокруг прямой линии, поэтому можно предположить линейную связь между параметрами.

Вычислим суммы, необходимые для расчета коэффициентов линейной регрессии, коэффициента детерминации с помощью табл. 9.3.

- Е Уі 16 +13 + 19 + 18 + 12 + 11 + 8 +14 + 9 + 16

У = —— =------------------------------------------------------ = 13,6.

п 10

По формулам (9.3) вычислим коэффициенты линейной регрессии

10 • 435,30-136 • 28,9 а і = = 2,660 ;

1 10 • 99,41 -835,21

а0 = 0,1 • (136-2,660 • 28,9)= 5,913.

Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид

ур = 5,913+2,660х. (9.4)

Наклон линии регрессии а1 = 2,66 минут на милю - это количество минут, приходящееся на одну милю расстояния. Координата точки пересечения прямой с осью У а0 = 5,913 минут - это время, которое не зависит от пройденного расстояния, а обуславливается всеми остальными возможными факторами, явно не учтенными при анализе.

По формуле (9.2) вычислим коэффициент детерминации

2 112 424

г2 =----- ------ =-- 0,918 или 91,8%.

122,400

Таким образом, линейная модель объясняет 91,8% вариации времени доставки. Не объясняется 100% - 91,8% = 8,2% вариации времени поездки, которые обусловлены остальными факторами, влияющими на время поставки, но не включенными в линейную модель регрессии.

Поскольку коэффициент детерминации имеет достаточно высокое значение и расстояние 2 мили, для которого надо сделать прогноз, находится в пределах диапазона исходных данных (см. табл. 9.2), то мы можем исполь­зовать полученное уравнение линейной регрессии (9.4) для прогнозирования

у (2 мили ) = 5,913 + 2,660 • 2 = 11,2 минут.

При прогнозах на расстояния, не входящие в диапазон исходных данных, нельзя гарантировать справедливость модели (9.4). Это объясняется тем, что связь между временем и расстоянием может изменяться по мере увеличения расстояния. На время дальних перевозок могут влиять новые факторы такие, как использование скоростных шоссе, остановки на отдых, обед и т.п.

Приблизительным, но самым простым и наглядным способом проверки удовлетворительности регрессионной модели является графическое представление отклонений (рис. 9.5).

Отложим отклонения (у? - у^) по оси У, для каждого значения у^. Если

регрессионная модель близка к реальной зависимости, то отклонения будут носить случайный характер и их сумма будет близка к нулю. В рассмотренном

примере у (ур - уі )= 0,004. і=1

9.2.1.