6.3. ПОРТФЕЛЬ МАРКОВИЦА 6.3.1. Постановка задачи

С другой стороны, инвесторы могут управлять риском, кото рый они на себя берут. Сильно рискуя, можно много выиграть, но только в том случае, если инвестор может выстоять в тяжелой ситу ации. Эти простые истины стали очевидными лишь в 70-х годах.

В 1952 году, когда Марковиц в «Формировании портфеля» [96] поставил задачу использовать понятие риска при конструирова­нии портфелей для инвесторов, суждения о качестве акций своди­лись к тому, сколько инвестор выиграл или проиграл. О риске просто не говорили.

В описании инвестиционной стратегии Марковиц не исполь зует слово «риск». Он просто определяет изменчивость прибыли как «вещь нежелательную», которую инвесторы стараются мини­мизировать. Риск и изменчивость стали синонимами. Фон Ней­ман и Моргенштерн начали измерять полезность, Марковиц на­чал измерять инвестиционный риск.

Дисперсия прибыли является статистической величиной, оп­ределяющей, насколько сильно прибыль от ценных бумаг колеб­лется вокруг своего среднего значения. Это понятие математичес­ки связано со средним квадратичным отклонением; по сути дела, они взаимозаменяемы. Чем больше дисперсия или среднее квад­ратичное отклонение относительно среднего, тем в меньшей сте­пени среднее характеризует ожидаемую прибыль.

Стратегическая роль диверсификации является ключевой в кон­цепции Марковица. В диверсифицированном портфеле, некоторые акции будут подниматься, когда другие падают; в любом случае доходность разных ценных бумаг будет разной. Использование диверсификации для уменьшения изменчивости привлекательно для каждого, кто не любит риск и предпочитает определенное будущее неопределенному. Большинство инвесторов предпочитает невысо­кую надежную прибыль от диверсифицированного портфеля став­ке на пакет акций одной компании, даже если эта ставка обещает очень высокую прибыль.

Хотя Марковиц никогда не ссылался на теорию игр, заметно большое сходство между его диверсификацией вложений и стра­тегическими играми фон Неймана. В этом случае одним игроком оказывается инвестор, а другим фондовый рынок — противник и в самом деле могучий и с неизвестными намерениями. Играть про­тив такого противника на выигрыш — это, по всей вероятности, верное средство разориться. Следуя же стратегии лучшей из худ­ших сделок — диверсифицируя, вместо того чтобы пытаться со­рвать банк, — инвестор по крайней мере повышает свои шансы выжить.

Математический анализ диверсификации помогает понять причины ее привлекательности. Хотя прибыль от такого портфе­ля будет равна среднему от прибылей входящих в него разнород­ных вложений, зато изменчивость его прибыли будет меньше, чем средняя изменчивость прибыли отдельных составляющих. Это значит, что диверсификация — нечто вроде бесплатной закуски, получаемой в результате составления из группы рискованных ак­ций, обещающих высокий доход, портфеля с относительно неболь­шим общим риском. Главное условие — минимизировать кова­риантность или корреляцию между динамикой доходности раз­личных акций.

Инвесторы всегда хотят владеть «самыми выгодными при дан­ной цене» акциями. Ожидаемый доход от портфеля таких акций равен математическому ожиданию, или среднему от ожидаемого Дохода отдельных пакетов акций, входящих в портфель. Но паке­ты, обещающие наибольшие прибыли, часто приносят разочаро­вание, тогда как другие превосходят самые оптимистичные про­гнозы.

Распределение этой кривой вокруг среднего значения отража­ет изменчивость доходности портфеля — область возможных ре­зультатов и вероятностей отклонений фактической доходности портфеля от ожидаемой доходности. Именно это Маркович имел в виду, введя понятие дисперсии (изменчивости) как меры риска, или неопределенности дохода; этот комбинированный подход к риску и прибыли профессионалы и ученые обычно называют оп­тимизацией отношения «среднее-дисперсия».

Маркович использует термин «эффективный» для характери­стики портфеля, составленного из лучших по данной цене акчий с минимальной изменчивостью доходности. Можно было бы гово­рить в данном случае об оптимизачии. Подход объединяет два основных стереотипа поведения, понятных самому незрелому ин­вестору: кто не рискует, тот не выигрывает, но и не клади все яйча в одну корзину.

Важно понять, что не существует единственного эффективно­го портфеля, который был бы эффективнее всех остальных. Сред ствами линейного программирования метод Марковича предла­гает меню эффективных портфелей. Как у всякого меню, у него две стороны: с одной стороны, ваши желания, с другой — цена. Чем выше ожидаемый доход, тем больше риск. Но каждый из эф фективных портфелей этого меню обеспечивает максимальный ожидаемый доход для заданного уровня риска или минимальный уровень риска для заданного ожидаемого дохода.

Разумные инвесторы имеют возможность выбрать по своему вкусу портфель, оптимальный в рамках выбранной ими агрессив­ной или оборонной стратегии. В духе фон Неймана и Моргенш- терна система предлагает метод максимизации выгоды (полезно­сти) для каждого инвестора. Это единственный пункт, в котором система Марковича имеет дело с субъективными устремлениями человека. Все остальное в ней математизировано.

Технические проблемы возникли в связи с предположением Марковича о том, что инвесторам будет не трудно получить опен­ку нужных для модели исходных данных — ожидаемой доходнос­ти, дисперсии и ковариачии доходности отдельных пакетов чен- ных бумаг.

ность процесса к малым расхождениям в оценке исходных дан­ных делает результат еще более спорным.

Наиболее сложной процедурой в ходе реализации модели Марковича является накопление вычислений, необходимых для оценки того, как курсы разных акций или облигаций меняются по отношению к курсам других акций или облигаций.

Найдем доли Я / распределения исходного капитала, миними­зирующие вариацию эффективности портфеля:

^У" (6.3.1.)

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективно­сти портфеля Еп, то есть

^Еп=^^Х1^Е, (6.3.2)

I

и выполняется бюджетный баланс

trrqofl I.

(6.3.3)

В такой постановке минимизация вариации равносильна ми­нимизации риска портфеля, поэтому задача Марковича может быть сформулирована следующим образом. Найти Хі минимизирующие риск портфеля:

^rn=^2_l^xi^xi^av (6.3.4)

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективно­сти портфеля Е_п, т.е. Е_п = ^ Х_ІЕ_І , и поскольку X_t — доли, то в

і

сумме они должны составлять единицу: ^ X, = 1.

і

Решение (оптимальное) этой задачи обозначим значком*. Если > 0, то это означает рекомендацию вложить долю х, налично­го капитала в ценные бумаги /-го вида. Если же х* 0.

Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обя­зуется через какое-то время поставить ценные бумаги г'-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекоменду­емые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не г'-го вида) боле эффективны, то инве­стор оказывается в выигрыше! Собственно, можно обойтись и без операции «short sale», если инвестору доступны займы денежных средств по безрисковой ставке.

Этот портфель минимального риска из всех портфелей задан­ной эффективности называется портфелем Марковица минималь­ного риска. Ясно, что его риск гп есть функция его заданной эф фективности.