6.3.3. Решение задачи о максимально полезном портфеле

Рыночная эффективная граница

Рис. 6.3. Зависимость минимального риска от ожидаемой эффективности портфеля

Отметим, что, во-первых, множество эффективных портфе­лей составляет подмножество множества допустимых портфелей и, во-вторых, что на эффективной траектории допустимые порт­фели являются одновременно и эффективными в том смысле, что они дают минимальный риск при фиксированной ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при дан­ном риске.

Согласно сформулированным выше принципам теории Мар­ковица, инвестор всегда выбирает портфель, лежащий на эффек­тивной границе. Этот выбор осуществляется посредством анали­за соотношения риска и доходности (постоянного «взвешивания»). Двигаясь вдоль границы слева направо, мы увеличиваем ожидае­мый риск, но при этом расширяются и границы доходности. В связи с этим возникает следующий вопрос: какой же портфель лучше? Лучший из всех портфелей на эффективной границе Мар­ковица называется оптимальным.

Интуитивно понятно, что оптимальный портфель зависит от предпочтений инвестора при выборе между риском и доходнос­тью. Как уже говорилось в начале главы, эти предпочтения мож­но описать при помощи функции полезности.

На рис. 6.4 изображены три кривые безразличия и эффектив ная граница. В нашем случае кривая безразличия определяет ком­бинации риска и ожидаемой доходности, дающие одинаковый уровень полезности. И чем дальше расположена кривая от гори­зонтальной оси, тем больше полезность.

Также из рис. 6.4 видно, какой портфель при данных кри­вых безразличия будет для инвестора оптимальным. Следует помнить, что инвестор стремится к самой высокой кривой без­различия, какую можно достичь на эффективной границе. При этих требованиях оптимальный портфель представлен точкой пересечения кривой безразличия с эффективной границей. На рис. 6.4 это портфель А. Инвестор находит точку А (ста, Еа), в которой полезность ЩЕ, о) максимальна, и вслед за этим уста­навливает оптимальный для себя портфель как решение X* зада­чи (6.3.1) — (6.3.3).

Портфель А максимизирует полезность для определенных ха­рактером кривой безразличия предпочтений риска и доходности инвестора, а также его ожиданий по поводу доходности и ковари- ации. Если его предпочтения относительно ожидаемого риска и доходности изменятся, изменится и оптимальный портфель. На­пример, на рис. 6.5 изображена та же эффективная граница, но другие кривые безразличия. В этом случае оптимальным будет портфель В с более низкими доходностью и риском, чем портфель А на рис. 6.4.

Рис. 6.5. Выбор оптимального портфеля при других кривых безразличия

При этом может возникнуть вопрос о том, как определить функцию полезности инвестора, чтобы построить его кривую без­различия? К сожалению, ответить на него непросто.

Это, однако, не означает, что теория бесполезна. А говорит лишь о том, что, описав эффективную границу, инвестор должен определить, какой эффективный портфель ему подходит в наи­большей степени.

В параграфе 6.2 мы рассматривали вопрос о влиянии диверси­фикации вклада на снижение риска и получили формулу (6.2.9)

₂ 1—2 п—\ —

о = — СГ, +------- СОУу ,

^и п п

которая показывает, что при росте числа п видов ценных бумаг, включаемых в портфель, риск эффективного портфеля ограничен И стремится К нулю при П —» ОО.

Отсюда вытекает главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в риско­ванные ценные бумаги целесообразно делать вложения не в один их вид, а составлять портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которых случаен, но слу­чайные отклонения независимы.

Однако в реальности большого разнообразия достичь труд­но, поскольку гипотеза независимости эффектов в достаточной степени условна и ограничивает возможности подобного расши­рения: технологическая сопряженность и экономическая взаимо­зависимость хозяйствующих субъектов естественным образом проявляются в статистическом взаимодействии случайных эффек- тивностей ценных бумаг.

Отметим также, что с практической точки зрения выгоды от масштабной диверсификации далеко не бесспорны: ее экономи­чески обоснованные размеры ограничиваются влиянием трансак- ционных издержек. С ростом числа сделок эти издержки делают включение в портфель малых партий большого числа активов неоправданно дорогим занятием.

Анализ, проведенный экономистами США, показал, что зна­чительную часть диверсифицируемого риска можно устранить, включая в портфель около 20 видов ценных бумаг, и дальнейшее увеличение числа видов таких активов в портфеле ведет к суще­ственному падению темпа уменьшения риска. Кривая риска ин­дивидуального портфеля Оя при увеличении числа активов асим­птотически приближается к уровню риска рыночного портфеля

о*_п (рис.

Из описания теории Марковица, можно сделать вывод, что она дает принципы построения эффективных портфелей и спосо­бы выбора из них наилучшего, или оптимального, портфеля. Эта теория отличается от предыдущих тем, что в ней сформулирова­ны принципы измерения основных параметров теории. К ним от­носятся риск и ожидаемая доходность как отдельных активов, так и всего портфеля в целом. Более того, при помощи этих величин, а также ковариации и корреляции между доходностями активов можно осуществить диверсификацию портфеля, цель которой со­стоит в уменьшении его риска без ущерба для доходности. Опре­деление и точный смысл этих параметров основываются на тео­ретико-вероятностных понятиях, а их количественная оценка осу­ществляется статистическими методами.

Рис. 6.6. Зависимость риска портфеля от числа рисковых активов

Ожидаемая доходность портфеля — это взвешенное среднее ожидаемых доходностей всех активов, входящих в портфель. Вес каждого актива определяется как процентная доля рыночной сто­имости актива в общей рыночной стоимости всего портфеля. Риск актива измеряется при помощи вариации или стандартного от­клонения его доходности. В отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не равен взвешенному стандартному отклоне­нию рисков отдельных активов, входящих в портфель. Риск пор­тфеля зависит от ковариации и корреляции между активами. Чем ниже корреляция, тем меньше риск портфеля.

Эффективный портфель по Марковицу — это допустимый портфель с наибольшей ожидаемой доходностью для заданного Уровня риска. Набор всех эффективных портфелей называется эффективным множеством портфелей, или эффективной границей.

Оптимальным портфелем называется такой портфель, кото­рый в наибольшей степени удовлетворяет предпочтениям инвес­тора по отношению к доходности и риску. Предпочтения инвес­тора описываются функцией полезности, которая графически представляется при помощи набора кривых безразличия. Опти­мальный портфель — это такой портфель, для которого кривая безразличия касается эффективной границы.