§ 14. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

§ 14. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых не удается опи­сать качество выбранного решения с помощью целевой функции.

Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функ­ционалов, т.е. величин, численное значение которых определяется выбором одной или нескольких функций.

Пример 14.1. На плоскости (г,х) заданы две точки (/0, *о)» Требу­

ется соединить эти две точки гладкой кривой, имеющей наименьшую длину (рис. 14.1).

? Длина кривой, соединяющей две заданные точки, находится по фор­муле

'[*(')]= {V 1 + х'2(/)Л •

*gt;

Таким образом, решение задачи сводится к определению такой непре­рывной функции х* (г) , имеющей на отрезке [*0, Т] непрерывную производную и удовлетворяющей заданным граничным условиям х(/0) = х0, х(Т) = хт, на ко­торой критерий /[х(0] примет минимальное значение. Критерий зависит от функции *(*) и представляет собой функционал. Очевидно, решением являет­ся прямая **(/), соединяющая две заданные точки. #9632;

Переменная /[*(*)] называется функционалом, зависящим от функции х(0, если каждой кривой из заданного класса функций М соответствует вполне оп­ределенное действительное значение I, т.е. функции х(/) соответствует число.

? Заметим, что все кривые проходят через две точки (0; 0), (1;1), т.е. удов­летворяют граничным условиям х(0) = 0, х(1) = 1. Найдем значения функциона­ла, соответствующие каждой кривой из класса Ж:

о

В данном примере функционал имеет простой физический смысл - пло­щадь под кривой *(/). Каждой кривой из класса Ж поставлено в соответствие число, равное площади. Очевидно, может быть сформулирована задача о нахож­дении такой кривой из класса Ж, площадь под которой была бы минимальна (максимальна). #9632;

Функционал /[*(01 называется непрерывным, если малому приращению функции х(0 соответствует малое изменение функционала.

Будем полагать, что функционал /[*(*)] определен на элементах х(0 линейного нормированного пространства функций, в котором каждому элементу х(() поставлено в соответствие действительное число || х| , называемое нормой элемента, при этом выполняются следующие условия:

1) |х|^0 и |дсЦ = 0 тогда и только тогда, когда х = 0(0 - нулевой элемент);

2) |Х*|.|Х|-Н; 3gt;|х + ,|ф| + М

для любых элементов х,у, принадлежащих пространству, и любого действитель­ного числа X.

Предметом нашего рассмотрения являются пространства С0,С1. Пространство С°([/а, Т\) состоит из непрерывных функций (кривых) х(/), определенных на отрезке [*о»Г]. В пространстве С°([/0,Г]) норма вводится сле­дующим образом 14, = ^тах ^ | х(Г) | .

Пусть х*(/)е С°([*0, Г]) и е gt; 0 - произвольное число.

6 - окрестностью пулевого порядка кривой х*(*) называется совокуп­ность кривых х(г)е с0([*0,71), такая, что

(14Л)

Это означает, что расстояние от кривой х*(/) до кривых х(/) мало (рис. 14.3).

Пространство сЧ[*о»Л) состоит из непрерывных функций (кривых) х(г) , определенных на отрезке [*о,Г] и имеющих на этом отрезке непрерывную производную. В пространстве С1ф0, Т]) норма вводится следующим образом:

1x1.= шах I х(01 + шах I х'(*) I.

11 1,1 /61/о.П1 1 /еЦь.Л1 1

Пусть х*(/)е сЧ[/0,Л) и е gt; 0 - произвольное число. г-окрестностью первого порядка кривой х*(^) называется совокупность кривых х(0 е СЧ[Г0, Г]), такая, что

=, amp; Iх(0~*‘(01+,ТлI*'(/)~хquot;(1)Ilt;8 • (14-2)

Это означает, что у кривых х(/) и кривой х*(/) близки не только ординаты, но и значения производных (рис. 1.4). Отсюда следует, что кривая, принадлежащая е - окрестности первого порядка, принадлежит и е - окрестности нулевого по­рядка (рис. 14.3), но не наоборот.

Аналогично вводится норма в пространстве СЯ|([/0,7’]) функций, имеющих непрерывные производные до порядка т включительно, т.е.

Пример 14.3. Найти расстояния **|0gt; | х -х*|^ между кривыми

х(/)= /2 и х*(/) = /3, / е [0,1] в пространствах С°([0,1]) и С1 ([0,1]).

? Найдем расстояние в пространстве С°([0,1]):

Цх-х1 = шах I /2 - /31.

II Но /€[0,1] I I

Из необходимого условия экстремума (/2 - /3)' = 0 получаем 2/ - З/2 = 0 и г = 0,

2 2 / = Вторая производная (/2 - /3)quot; = 2-6/ в точке / = — отрицательна, поэтому

в ней достигается локальный максимум.

1**1

II Но 27

Найдем расстояние в пространстве С!([0,1]) :

Мх-х*й = max 112 -/31 + max I 2/ — 3/2 I.

» quot;1 t € [0,1] I * /€[0,1]« I

Так как максимум первого слагаемого уже известен, то исследуем второе слагае­мое. Необходимое условие экстремума (2t - З/2)' = 2 - 6/ = 0 дает / = —. Так как

7 п 1

вторая производная (2/ — 3/ ) = -6 отрицательна, то в точке / = - - локальный максимум. Значения функции |2/-3f2| на границе равны: 0 и 1, а значение в точке — равно -j. Поэтому максимум функции |2/ - 3/2| достигается в точке

/ = 1 и равен 1. Отсюда 1 х - х*|| = — +1 = —. #9632;

I »1 27 27

Пример 14.4. Найти число N, начиная с которого все функции х(/) = —#9632;

гг

принадлежат е -окрестности нулевого порядка функции х*(?) = 0, если t е [0, я], е = 0,01.

? Воспользуемся определением е-окрестности нулевого порядка и оцен­кой функции sin nt: lx-x*|| = max 1 lt; Д- lt; е. Отсюда следует, что тре-

II Ио /€[0,П]| I п2

буемое свойство выполняется при пgt; N = = 10.«

Кривые x(f), на которых сравниваются значения функционала, называют­ся допустимыми кривыми или кривыми сравнения.

Обозначим через x*(f) допустимую кривую, на которой функционал дос­тигает экстремума, а через x(t) произвольную допустимую кривую. Разность х(г) - х* (/) = 5x(f) называется вариацией кривой х*(?).

Вариация 8х(/) есть функция t и принадлежит тому же функциональному пространству, что и функция х(/). Используя вариацию 5х(г) , можно предста­вить любую допустимую кривую x(f) в виде

х(0=х*(г) + amp;с(/). (14.3)

Однако нами используется и другая запись

х(/)= х*(*)+а5х(/) . (14.4)

В выражении (1.4) 5x(f) - фиксированная функция, а а - числовой пара­

метр. Очевидно, что при а = 0 справедливо х(*)= х*(/) .

Назовем приращением функционала А/ разность

А/ = /[х(0] - /[х*(0] = /[**(0 + абх(Г)] - I[x'(t)l (14.5)

Линейным функционалам называется функционал 7[х(*)], удовлетворяющий следующим условиям:

/[с-*(/)]= с-/[*(/)], где с - произвольная постоянная, и

/[*,(/)+ х2(01 = /Ы*)]+Фг(')1-

Дадим определение первой вариации функционала с использованием (14.3).

Если приращение функционала А/ = /[*(/) + 8х(0]~ /[*(0] можно предста­вить в виде

А/ = 67[х(/), 5х] + р[х(/), бх] • шах |бх|,

где 67[х(/),бх] - линейный по отношению к 5х(0 функционал, шах|бх| - макси­мальное значение |бх| и р[х(/),бх]-gt; О при тах |бх| 0, то главная, линейная по отношению к бх часть приращения функционала, т.е. 5/[х(/),5х], называется первой вариацией функционала [44].

Можно дать другое определение первой вариации, используя (14.4).

Так как 7[х*(/)+абх(/)] есть функция lt;р(а) числового параметра а, то, разложив эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки а = 0 по степеням а , найдем

2

/[*’(*) + аamp;ф)1 - /(х*(lt;)] = а 8/ + -^-52/ +... , (14.6)

где

lt;/а '“-0 ёа а=® '*}

и называется первой вариацией функционала,

.2|Г ё2Цх-(1)+аamp;хЩ

ъ'----- 7?

и называется второй вариацией функционала и т.д.

Замечания 14.1.

1. Мы привели два определения вариации функционала. Покажем их связь [44]. Если функционал имеет вариацию в смысле главной линейной части при­ращения, то это приращение имеет вид

А/ = 7[х(*) + а 6х(0] - 7[х(/)] = 57[х(/), абх] + р[х(/),абх] • |а| • шах |бх|.

С другой стороны,

_ jjm lt;x6jc] -h p[x(/), ot5jc] |a| тах|§дс|

a-gt;0 a

, to quot;НіїЕЦ to 8/140.8»),

a-gt;o a o-gt;0 a

так как 5/[x(/),a5x] = a6/[x(f),amp;c] в силу линейности, а

p[x(/),afix] |a| шах

lim --------------------------------- *—- = 0,

a-*0 a

потому что p[x(r), aSx] -gt; 0 при a -» 0.

Следовательно, если существует вариация в смысле главной линейной час­ти приращения функционала, то существует вариация в смысле производной по параметру и эти определения эквивалентны.

2. В литературе вместо /[*(/)] часто используется обозначение /[x()J, что­бы явно различить элемент х() соответствующего функционального простран­ства и значение функции х(/) при фиксированном /.

Пример 14.5. Найти первую вариацию функционала

I[x(t)]=\x\t)dt.

а

? Первый способ. Запишем приращение функционала ь ь ь ь

А1 = 1 МО + MOl2 а - Jx2(0 А = \lx(t) • bxit) dt+f [MOPdt.

а а а а

Ь Ь

Но J [МО? А pound; J [ тах^|М0| ]2 А = [дпах |М0|]2(Д - в) = (А - а) • |amp;х| =

а а *

Ь

= (4-а) И N- Тогда АI = J2x(/) bx(t) dt + (b- а)||5х|| Цamp;сЦ, где р 0 при

N -gt; 0. Поэтому можно выписать выражение для первой вариации функциона- ь

ла: 5/ = | 2х(*)бх(/)Л-

а

Второй способ. Воспользуемся формулой (14.7):

ь

/М0+«М01 = /М0+аМ0]2А,

а

ь ь

= J 2 МО + о МОЇ МО А | а_о = J 2х(0 МО А.

а=0 а а

da

Очевидно, оба способа приводят к одному результату.

Говорят, что функционал /[*(/)], определенный на классе М кривых х(/), достигает на кривой х*(/) глобального минимума (максимума), если

/[Х*(0] lt;/[*(*)] [ /[**(/)] gt; /[х(/)] ] Ух(/)еЖ.

Пример 14.6. Найти глобальные максимум и минимум функционала из примера 14.2.

? Очевидно, на заданном классе Ж допустимых кривых функции х2(*) = /2 соответствует наименьшее значение функционала (ей соответствует наименьшая площадь под кривой на рис. 14.2), а кривой х3(г)-наибольшее зна­чение (ей соответствует наибольшая площадь под кривой на рис. 14.2). #9632;

Пример 14.7. Доказать, что на кривой х*(/) = t функционал

/[*(»]= {*'2(0Л, х(0) = 0, х(1) = 1 О

достигает глобального минимума.

? Очевидно, функция х*(/) = / е С[26] ([0,1]). Рассмотрим вариации бх(/) е С1 ([0,1]), удовлетворяющие условиям 5х(0) = 6х(1) = 0. Исследуем прира­щение функционала:

1 1

/[**( 0 + Ьс(01- /[х*(0] = | [Х*Ч0 + 8х’(0]2Л[х*ЧО]2Л = о о

1 1 1

= 2\х*'(*)8х'(/)Л + I [5х'(012Л =/[5х'(0]2^ 2gt; о,

О 0 0

Замечание 14.2. Всякий сильный экстремум функционала является и слабым, а обратное, вообще говоря, неверно, так как сильный экстремум - это экстремум по отношению к более широкому классу кривых.

Пример 14.8. Доказать, что на кривой х*(0 а 0 функционал л*(01 = ) х2(/)[3-х'2«)]lt;*, х(0) = х(я) = О

достигает слабого минимума.

? Так как /[х*(0] = 0, то согласно определению требуется доказать, что существует е gt; 0, такое, что для всех х(0, удовлетворяющих условию

max I х(/) - х* (О I + max I x\t) - х* ’ (О I =

/е[0,я) I I /е[0,л]lt; •

справедливо неравенство /[х(0] ^ Л** (О] = 0.

Пусть е = 1, тогда для всех кривых из е -окрестности первого порядка кри­вой х*(0*0 выполняются условия: max |х(/)|lt;е = 1, max Iх'(Ы lt;е = 1.

Ге[0,п] 1 1 / е [0,7г] 1

п

Поэтому 0^х2(/)lt;1, 3 - х'2(/) gt; 0 и I[x(t)] = Jx2(f)[3- x2(t)]dt gt; 0, что и тре-

0

бовалось доказать. Следовательно, на кривой х*(Г) = 0 функционал достигает слабого минимума.

Исследуем функционал на наличие сильного минимума. При s = 1 е -окрестность нулевого порядка кривой х* (/) s 0 образуют кривые, удовлетво­ряющие условию max x(f)-x*(0l= max |х(0|lt;е = 1. Но среди них можно

/€[0,ж] I I *е[0,к]1 ‘

подобрать такую функцию, например x(t) = sin5t, что выражение [3 -x2(t)] мо­жет бьпъ отрицательным, так как x\t) = 5 cos 5t. Поэтому усло­вие /[*(*)] pound;/[**(01 = 0 на некоторых функциях из е-окрестности нулевого по­рядка кривой x*(t) = 0 может не выполняться. Аналогичные рассуждения спра­ведливы при других значениях е. Следовательно, на кривой х*(0 = 0 функцио­нал не достигает сильного минимума.«

Необходимые условия локального минимума ( максимума ) одинаковы для сильного и слабого минимума ( максимума ) и определяются следующей теоре­мой [44].

Теорема 1.1 (необходимые условия локального экстремума).

Если функционал /[x(0L имеющий вариацию, достигает минимума или

максимума на кривой x*{t), где x*(t) есть внутренняя точка области опре­деления функционала, то при x(t) = x*(t) первая вариация функционала равна нулю:

Замечания 14.3.

1. Доказательство необходимых условий экстремума функционала опирает­ся на тот факт, что при фиксированных x*(t) и amp;ф) функционал /[x*(f) + aSx(/)J = ф(а) является функцией параметра а. При а = 0 функционал достигает экстремального значения /[**(/)]. Заметим, что а может принимать в окрестности точки a = 0 как положительные, так и отрицательные значения (при этом х (/) является внутренней точкой в области определения функциона­ла). Так как точка a = 0 является точкой локального экстремума функции lt;р(а), то, применяя необходимые условия локального экстремума функций (см. § 2), получаем

lt;p'(a)|as,0=0 или -pound;-/[**(0 + a5x(/)]| =0. (14.9)

2. Различие между сильным и слабым экстремумами не имеет существен­ного значения при выводе необходимого условия экстремума, но весьма сущест­венно при выводе и применении достаточных условий экстремума.

При выводе необходимых условий экстремума для различных постановок вариационных задач применяется следующая важная теорема [44].

Теорема 14.2 (основная лемма вариационного исчисления).

Если для каждой непрерывной функции г|(0

т

\a{t)x\(t)dt = 0. (14.10)

4)

где функция a(t) непрерывна на отрезке [?о,Т], то a(t) г 0 на том же отрезке.

Замечания 14.4.

1. Утверждение основной леммы вариационного исчисления и ее доказа­тельство не изменятся, если на функцию i](t) наложить следующие ограничения: г|(0 имеет непрерывную производную; 4(^0) = Tl(7,) = 0-

2. Все изложенное в этом разделе без изменения переносится на функцио­налы /[*(/)] = /[*! (4..., хп (/)], зависящие от вектор-функции x(t) =

= (*|(0,...,*л(0)Г ОДНОЙ переменной или зависящие от функций нескольких переменных. Для таких функционалов вариация также определяется как главная линейная часть приращения функционала и доказывается, что на функциях (вектор-функциях), на которых реализуется экстремум, вариация равна нулю.

Задачи для самостоятельного решения

1

1. Вычислить значения функционала /[*(01= ]х2(0lt;* на кривых х,(0 = *gt;

о

х2(0 = е'.

Ответ: /, =1,/2=1(е2-1).

2. Найти расстояние между функциями х(/) = /2, х*(/) = / в пространстве С°([ 0,1]).

Ответ: |х - x*Jq = —

3. Найти расстояние между функциями х(/) = /, х* (t) = In t в пространстве С*([^в]).

Ответ: Цх - х*^ = 2(е -1).

4. Пользуясь определением, доказать, что на кривой x*(t) = t3-t2 функ-

1

ционал 7[х(/)] = fxquot; 2 (г) dt, х(0) = х'(0) = х(1) = 0, х'(1) = 1, достигает глобального о минимума.

5. Доказать, что на кривой х* (t) = 0 функционал

/МО 1= )x2(t)[x\t)-\]2dt, х(— я) = х(я) = 0,

-я

достигает сильного минимума.

6. Найти первую вариацию функционала /[х(/)] =

о

х(0)=0, х(1)=1.

Ответ: 5/ = J [2х(/) - 2хquot;(/)] 5х(/)Л. о

7. Найти первую вариацию функционала /[x(f)] = J [ 12/ х(/) -х2 (/) \dt, х(-1)=1, х(0) = 0.

о

Ответ: 5/ = J [ 12/ + 2хquot;(/) ]бх(/) dt.

8. Найти первую вариацию функционала /[x(/)j = J [х'2(/)-х2(/) ]dt,

о

Ф)=gt;.

71

Ответ: 5/ = - 2х(/) - 2хquot;(/) ]бх(/) dt.

…