5.1. Основные понятия и формулы

Большинство задач данной главы относится к вопросам коли­чественного анализа финансовых операции с ценными бумагами. В этой связи используемый здесь и далее термин «ценная бумага» означает законодательно признанное свидетельство права на по­лучение ожидаемых в будущем доходов при конкретных услови­ях.

Первичные ценные бумаги. Облигация — это ценная бумага, удостоверяющая отношение займа ее владельца (кредитора) по отношению к эмитенту (заемщику) и дающая ему право на полу­чение фиксированных доходов в счет погашения предоставлен­ного эмитенту займа. Облигация имеет номинальную стоимость, или номинал N. который присваивают облигации в момент ее эмиссии. Часто облигации имеют купон, который характеризует­ся купонной ставкой что дает владельцу купонный доход, рав­ный доле q от номинала.

В зависимости от принятой эмитентом схемы погашения раз­личают следующие основные виды облигаций.

«Вечная» облигация — свидетельство бессрочного займа; по ним производится только выплата процентов (купонных дохо­дов), капитал не возвращается, точнее, эмитент указывает на воз­можность их выкупа, не связывая себя конкретным сроком. К ним условно можно отнести купонные облигации с настолько от­даленным сроком погашения, что можно пренебречь текущей стоимостью их номинала.

Бескупонная облигация с погашением по номиналу (приобре­тается с дисконтом).

Облигации с периодической выплатой купонных доходов, пога­шаемые в конце срока.

Акция — это ценная бумага, подтверждающая долевое участие (титул собственности) ее владельца в капитале акционерного об­щества и дающая ему право на часть прибыли, производимой данным капиталом и периодически выплачиваемой в виде диви­дендов.

Депозитные сертификаты. Эти сертификаты (аналог сберега­тельных сертификатов для физических лиц) эмитируют и выдают банки в обмен на размещаемые у них средства.

Вексель — ценная бумага, представляющая письменное обяза­тельство уплатить определенную денежную сумму и дающая его держателю право требовать от должника его выполнения. Век­сель может быть простым или переводным (тратта).

Производные ценные бумаги. Из производных ценных бумаг отметим фьючерсы и опционы. С этими бумагами имеют дело спе­кулянты и хеджеры. Спекулянты покупают и продают фьючерсы (опционы) с целью получения выигрыша; напротив, хеджеры по­купают и продают эти бумаги, чтобы исключить рискованную позицию на спотовом рынке. Эта позиция может быть обусловле­на их бизнесом, в ходе которого они или производят, или исполь­зуют базисный актив.

Эти инструменты относятся к срочным контрактам. В общем случае под срочным контрактом понимается договор на поставку с оговоренной датой определенного актива, в качестве которого могут выступать различные материальные ценности, товары, ва­люта, ценные бумаги. Финансовые производные ценные бумаги имеют дело с финансовыми активами - облигациями, акциями, валютой.

Фьючерс. Идея контракта на будущее (фьючерса) состоит в ре­ализации следующей типовой схемы: продавец контракта берет на себя обязательство продать, а покупатель — купить актив в оп­ределенный срок в будущем по цене, фиксируемой в момент сделки.

Валютный фьючерс — фьючерсный контракт на валюту с ука­занием объема поставки, месяца и цены исполнения в соответ­ствии с правилами стандартизации, принятыми биржевой тор­говлей.

Опцион. Эта ценная бумага отличается от фьючерса тем, что один из контрагентов, в соответствии с правилами опциона, име­ет оплаченное им другому контрагенту право отказаться от вы­полнения сделки: продажи или покупки актива. Таким образом, опцион обозначает срочную сделку, по которой одна из сторон приобретает право купить или продать по фиксированной цене предмет контракта, а другая сторона обязуется за денежную пре­мию обеспечить при необходимости реализацию этого права.

Опционы обычно делятся на два класса — европейского и американского типов и бывают двух видов: колл-опционы (право купить) и пут-опционы (право продать).

Американские опционы могут исполняться в любой момент времени до даты истечения срока их действия, а европейские — только на дату окончания контракта.

Доходность ценных бумаг и операций с ними

Для инвестора доходность вложений в ценную бумагу опреде­ляется величиной дохода, полученного на единицу вложенных средств.

Внутренняя доходность ценной бумаги. При достаточно дли­тельном сроке (п) владения ценной бумагой наиболее адекват­ным измерителем ее доходности является показатель внутренней нормы прибыли (IRR) потока платежей, состоящего из затрат (I) на приобретение ценной бумаги и полученных за время владения ею доходов: {E_t, /=1,2,..., п}. Как и для инвестиционных проек­тов, этот показатель эффективности определяется следующим уравнением:

+ = 0. (5.1)

/=i

Вместе с тем в практических расчетах, а тем более для корот­ких диапазонов дальновидности инвестора используют показате­ли, основанные на прямом (без дисконтирования) сопоставле­нии возможной прибыли и затрат.

Доходность облигации. Доходность, как правило, сводится к годовому исчислению и показывает эффективность вложений инвестора (отношение прибыли к затратам).

Текущая доходность. При определении текущей доходности предполагается, что прибыль инвестора формирует только теку­щий доход, т.е. тот, который начисляется по отдельным порциям

за квартал, полугодие, год.

Текущая доходность за год = _ Доход (процентные выплаты за год) Рыночная цена (цена приобретения) Текущая доходность за год = Доход (дисконт) __ по краткосрочному обязательству (Номинал-дисконт) Срок до погашения

Конечная (полная) доходность. В случае, когда в расчет прини­мается полный доход за весь срок владения, полученный как в виде дивидендов, так и за счет разницы между покупной ценой и ценой продажи, говорят о конечной (полной) доходности.

Процентные выплаты за весь срок + + Прибыль от перепродажи Конечная _ Срок владения облигацией(в годах)

Рыночная цена (цена приобретения)

Если срок владения облигацией заканчивается ее погаше­нием, то в качестве составляющей полного дохода в формуле (5.3) место прибыли от перепродажи займет разница между номина­лом и покупной ценой (дисконт), и в этом случае

Процентные выплаты за весь срок + ___ + Дисконт

_ Срок обращения облигации(в годах)

Рыночная цена (номинал-дисконт)

Дивиденды за год

Рыночная цена (цена приобретения)

Конечная (полная) доходность. В случае с акциями инвестор в отличие от держателя облигации может получить дополнитель­ный доход, только продав акцию на вторичном рынке. Вариант погашения здесь отсутствует, и поэтому вместо двух записей (5.3), (5.4) придем к следующей формуле:

Конечная доходность _ акции(годовая)

Дивиденды за весь срок + Прибыль от перепродажи

Срок владения акцией (в годах)

Рыночная цена (цена приобретения)

х100%.

Доходность операций с ценными бумагами. Возможна ситуа­ция, когда инвестор продает ценную бумагу, не успев получить по ней доход: купонный — для облигации, или дивиденд в сделках с акциями. В этом случае говорят о «доходности операции с цен­ной бумагой»:

Доходность операции с облигацией (с акцией)

_ Прибыль от перепродажи Цена приобретения

В формуле (5.7) за период начисления принят промежуток времени между датами покупки и продажи (срок владения).

Доходность операции _ с ценной бумагой (годовая)

Прибыль от перепродажи

Срок владения (в годах)

Цена приобретения

В том случае, когда для сравнения финансовых операций применяют сложный процент, следует использовать эффектив­ную ставку (1.4). Тогда показатель годовой доходности примет вид:

Эффективная доходность операции ₌ с ценной бумагой (годовая)

(5.9)

Цена продажи Цена покупки

Доходность, скорректированная с учетом налогов. Существен­ное влияние на доходность оказывают налоги, уплачиваемые с доходов по ценным бумагам. При необходимости их учета при­быль, соотнесенную в формулах доходности с затратами инвесто­ра, уменьшают на величину налоговых выплат. Тогда все вышеп­риведенные формулы в скорректированной таким образом запи­си будут определять доходность с учетом налогообложения. На­пример, из формулы (5.6) получим, что для акции

Конечная доходность с учетом налогообложения

Дивиденды - налоги с дивидендов + Прибыль - Налоге прибыли Срок владения акцией (в годах)

Рыночная цена (цена приобретения)

х100%

Доходность вложений в производные ценные бумаги. Поток платежей по таким бумагам является производным и зависит от потока платежей по базисному активу. Поэтому доходность вло­

жений в эти бумаги зависит от изменения цены базисного акти­ва, впрочем, как и доход от биржевых операций с ними, который в явном виде определяется спекулятивной разностью цен.

Согласно правилам биржевой торговли валютными фью­черсами для открытия одной позиции (приобретения одного фьючерсного контракта) участник должен внести порядка 10% от объема заключенного контракта по текущему курсу. Пусть для определенности эта сумма равна Р руб., а т — количество календарных дней, в течение которых изменялась котировоч­ная цена по данному контракту. В этих обозначениях доход­ность вложения по ставке простого процента можно рассчитать по формуле

Доходность ₌ (Изменение котировочной цены) 360 (годовая) р _т

В качестве еще одного примера рассмотрим доходность вло­жения в опцион «колл». Этот опцион дает право приобрести че­рез Глет пакет из N акций по цене Р₀ долл. за каждую и ставке премиального вознаграждения в размере X долл. за акцию. Допус­тим, что к назначенному сроку цена акции поднимется до вели­чины Р_т. Тогда прибыль инвестора за срок владения Т составит величину

П = (Р_Т-Р₀)М-Х-М.

Сопоставляя эту прибыль с затратами 3 = X • получим сле­дующую формулу:

Прибыль

Конечная доходность ₌ Срок владения (в годах) . 2 ₌ (годовая) Затраты °

(5 12}

-•100%.

ХМ

Курсовые стоимости ценных бумаг

Курс ценной бумаги — это та цена, по которой она продается и покупается на рынке ценных бумаг. Курсовые стоимости выяв­ляются (формируются) на этом рынке в ходе взаимодействия спроса и предложения.

Участники сделок с ценными бумагами, соблюдающие золо­тое правило: «покупайте дешево, продавайте дорого», принимают решения исходя из прогнозируемых ими значений рыночной це­ны. Для определения того, во сколько оценит рынок ту или иную ценную бумагу, они анализируют значительное число влияющих факторов как фундаментального, так и текущего характера. В ме­тодическом плане для решения этих вопросов широко применя­ются статистический подход и различные финансово-математи­ческие модели.

Основным методом в предлагаемом сборнике задач являются правила обработки потоков платежей. Приложение этих правил для оценки курсов первичных ценных бумаг исходит из рассмот­рения только двух факторов: дохода по ценной бумаге и ставки сравнения /. При таком подходе за теоретически справедливую оценку курсовой стоимости принимают величину текущей стои­мости потока приносимых ею доходов {Y_k, к = 1, 2, ..., п) за весь срок ее действия.

Курсовая стоимость У\ У г , , ^Yn ₍₁- ценной бумаги (] + /) ₍| _{+ /)}2 -

Здесь ставка сравнения / определяется доходностью альтерна­тивного вложения с теми же характеристиками надежности (рис­ка), что и ценная бумага.

При полной определенности эта ставка может приравнивать­ся банковскому проценту по депозитам. Тогда величина (5.12) по­казывает, сколько надо положить денег на банковский счет, что­бы получать те же доходы, что и по ценной бумаге.

При случайных доходах расчеты проводят на основе средних значений, а ставки дисконтирования получают из безрискового процента / добавлением к нему премии за риск. Размер требуемой премии определяется с помощью показателя «бета вклада» на ос­новании результатов теории равновесия на конкурентном фи­нансовом рынке (Capital Asset Pricing Model — Модель ценообра­зования капитальных активов). Для задач данной главы упомяну­тые результаты применяться не будут, и потому более подробные сведения о них здесь не приводятся.

Оценка облигаций. Облигации имеют номинальную N и кур­совую цену Р. Согласно положению о фондовых биржах, курс об­лигации указывается в процентах к ее номинальной стоимости:

Курс(%)=^КурС°^{ВаЯ ЦЄНа}.|00%. Номинал

«Вечная облигация». Для такой облигации поток доходов обра­зует бесконечную постоянную ренту с купонным платежом

У= Купонная ставка • Номинал = г| •

и за оценку ее курсовой стоимости принимается современная ве­личина этого потока

Купонная ставка

Курсовая ____

стоимость Ставка сравнения (банковская)

или в процентах:

Курс(%) = ^КуП°^{ННаЯ СТаВКа} -100% =— -100%. (5.15) Ставка сравнения і

Бескупонная облигация с погашением по номиналу. Полагая в (5.12) У_х = У₂ = ... = У_п__х = 0, У_п = ЛГ, получим оценки курсовой стоимости и курса для я-периодной облигации с нулевым купо­ном, выраженные через ее номинальную стоимость N1

Курсовая _ —— Курс(%) = - стоимость (і + /)^я (1+/)^я

Облигации с периодической выплатой купонных доходов, пога­шаемые в конце срока. Пусть дата покупки совпадает с датой ку­понного платежа или с датой выпуска. В этом случае придем к следующему потоку доходов:

у^у₂= ... = У_п__х = У_п = + N.

Подставляя эти значения в (5.12) и преобразовывая, получим следующую оценку:

N

где к = ■

(1 + 'Г

Формула (5.17) связывает текущую цену Р с современной ве­личиной финальной выплаты ТУ и четко выделяет роль купонно­го процента т|. В частном случае купонной ставки, равной ставке сравнения (г| = /), курсовая стоимость (5.17) совпадает с номи­нальной ценой (Р= АО.

Если покупка производится в промежутке между купонными платежами, то при оценке курса следует учесть ту часть дохода, которая причитается продавцу за его долю купонного периода.

Привилегированная или обыкновенная акция с известным разме­ром дивиденда. Акции эмитентом не погашаются. Поэтому в дан­ном случае получим ту же оценку, что и для вечной облигации:

Дивиденд (%)

стоимость Ставка сравнения (банковский процент)

Дивиденд на акцию

(руб.) Банковский процент

Данное соотношение отражает одну из фундаментальных за­кономерностей фондового рынка: стоимость акций возрастает с ростом дивиденда и убывает пропорционально размеру банковс­кой ставки.

Обыкновенные акции с переменным потоком дивидендов. Помимо рассмотренных, могут быть и иные варианты потока дивиденд­ных выплат. Для регулярных потоков переменных платежей, нап­ример, с постоянным абсолютным и с постоянным относитель­ным приростом, оценки курсов сводятся к известным формулам современных величин. Некоторые из них будут даны в ответах к задачам по данной теме.

Обыкновенные акции со случайным потоком дивидендов. В этом случае задача о курсовой стоимости существенно усложняется из-за необходимости учета стохастического фактора. Для этого в принятой нами потоковой схеме переходят к детерминирован-

ным эквивалентам случайных выплат или случайной доходности: платеж, или ставку дисконтирования, корректируют с учетом риска. Правила подобной корректировки относятся к методам стохастической финансовой математики и для решения задач де­терминированного анализа не требуются.

Наряду с курсовой стоимостью для игроков на рынке ценных бумаг значительный интерес имеет вопрос о приемлемой цене, например, покупки; для ее оценивания подходят те же формулы, что и для курса. При этом за ставку дисконтирования можно при­нять любую устраивающую инвестора доходность, а в качестве будущих выплат — их субъективные и достаточно грубые прибли­жения. Если расчетное значение этой цены окажется выше ры­ночной, то покупка целесообразна, в противном случае, когда рынок оценивает дороже, покупать не следует.

Производные ценные бумаги (деривативы). Что касается произ­водных финансовых инструментов, то для определения их курсов используются иные принципы. Так, для валютных фьючерсов назначение цены (фьючерсного курса) сводится к прогнозу буду­щего движения котировок и является определяющим фактором при принятии решения об открытии или закрытии позиций. Оценка стоимости опциона, например, на акции основывается на принципе воспроизводимости случайных доходов по нему с помощью динамического портфеля из этих акций и безрисково­го банковского счета (облигаций). Тогда за стоимость опциона (оценку премии за опцион) принимается начальная цена имити­рующего этот опцион портфеля (формула Блэка-Шоулса).

Адекватность оценок, основанных на указанных выше прин­ципах, подтверждается значениями котировок, устанавливаемых на рынке деривативов. Упоминание об этих «недетерминирован­ных» постановках носит информационный характер и не дает ос­нования для их включения в задачи предлагаемого сборника.