5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
Очень часто при изучении моделей частного равновесия бывает удобно использовать предположение о том, что суммарный спрос порождается решением задачи одного потребителя. В том случае, когда такой потребитель существует, его называют репрезентативным потребителем.
Покажем, что в экономике репрезентативный потребитель всегда существует.
Пусть жДр) — вектор спроса г-го потребителя на первые I благ при ценах р.
Тогда суммарный спрос всех потребителей равенx(p) = Y,xt(p).
iel
В этих обозначениях репрезентативный потребитель будет порождать своими предпочтениями суммарный спрос Х(р).
Покажем что репрезентативный потребитель в этих условиях существует, причем его предпочтения на множестве потребительских наборов (ж, z), х > 0, могут быть представлены квазилинейной функцией полезности вида:
и(ж, z) = v(x) + z.
Рассмотрим следующую задачу (задачу максимизации суммы полезностей от потребления 1-го блага при фиксированном количестве х этого блага):
}]'¦.[х.) > шах
iel
Еж^ж. (Ф)
iel
ж,>0
Тогда в качестве v(x) мы можем взять значение этой задачи при ж = ж. Покажем, что X(р) является решением задачи репре- зентативного потребителя с функцией полезности, и(х, z) = v(x) + г, при любом векторе цен р > 0.
Предположим противное. Как мы видели, задачу представительного потребителя в случае квазилинейных предпочтений можно записать в эквивалентной форме: v(x) - рх —> max^Q. Пусть существует х > 0, такой что
v(x) - рх > v(X(p)) - рХ(р).
При этом, так как Х(р) = Еж;(р)> и xi(p) допустимы в задаче
iel
(Ф) при х = Х(р), то должно быть выполнено
v(x) -рх > T,vt(xt(p)) - pT,xt(p)-
iel iel
Заметим, что v(x) = гДе хт) — решение задачи
iel
(Ф) при х = х. Таким образом имеем
T,Vi(Xi) - pY,Xi > Ei'i(Xi) р Х> T,Vi(Xi(p))- pY,Xi(p).
iel iel ie I iel iel
Но это означает, что по крайней мере для одного из потребителей выполнено
Vt(xt) - рхг > vt(xt(p))- рхг(р), что противоречит оптимальности набора хХр)-
Докажем, что
v(X(p)) = Y,v,(xt(p)),
iel
другими словами, индикатор благосостояния в экономике с одним представительным потребителем упорядочивает интересующие нас состояния экономики так же, как и индикатор благосостояния первоначальной экономики.
Предположим противное. Случай v(X(p)) < невоз-
iel
можен, т.к.
хХр) допустимы в задаче (Ф) при х = Х(р). Поэтому предположим, что существует р такое, что1>(Х(Р))>Т.1>ХХХР)).
iel
Пусть (жь ..., хт) — решение задачи (Ф) при х = Х(р). По определению v(X(p)) =J2vi(Xi)- Значит, iel iel iel
С другой стороны,
Х(Р) =T,XI(p).
iel ге I
Умножим на р:
pT,xt< pT,xt(p).
iel ге I
Складывая два неравенства, получаем
Ег',(ж,) - РЕ®, > T,vt(xt(p)) - рТ,хг(р).
ге I ге I ге I ге J
Получили требуемое противоречие.
Задачи
Докажите вторую часть Теоремы 9.
а) Постройте контрпример с вогнутыми функциями г>Д ) и выпуклыми функциями с-(-), который бы показывал, что условие zt >0 Vi существенно в первой части Теоремы 9.
б) Постройте контрпример, который бы показывал, что условие выпуклости функции издержек существенно в первой части Теоремы 9.
Докажите Теорему 10.
Покажите, что в случае квазилинейной экономики Па- рето-граница представляет собой гиперплоскость вида
ЕЫг = СОНМ
iel
Докажите Теоремы 12, 13 и 14.
Докажите, что при хк(рк) >0 выполнено
dcs,(p)_ 9CSM ~ ЭА - дрк ¦
Пусть (ж, у) — допустимое состояние квазилинейной экономики, и р > 0 — некоторый вектор цен, причем ж; является решением задачи потребителя при ценах р, и
pT,Xi = pT,yj
ie I je J
Докажите, что
Т,щ(хг, Zt) =W(x,y) + Y,at
ге I iel
В экономике два блага (/+1 = 2) и два потребителя, имеющие функции полезности щ = + zx и и2 = 2yfx~2 + z2. Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.
Пусть предпочтения потребителей представляются квази-линейными сепарабельными функциями полезности. Тогда без потери общности можно считать, что в экономике два блага (I + 1 = 2). Пусть хХр) — спрос на первое благо г-го потребителя при ценах р,
D(p) = —
iel
суммарный спрос потребителей на первое благо, и р(х) = D\x) — обратная функция спроса. Предположим, что функция р(х) является непрерывной и убывающей при х > 0. Докажите, что если
X
v(x)=\p(q)clq,
о
то v(x) + z является функцией полезности репрезентативного потребителя.
В ситуации предыдущей задачи функция спроса на благо имеет вид
D(P)= 4^.
Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.
Еще по теме 5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя:
- Словарь
- 5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
- 6.5 Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
- Краткий толковый словарь рекламных терминов
- 2.4. Сегментация рынка и выбор целевых сегментов рынка