3.3.2 Оценка изменения благосостояния.

В этом разделе мы приведем оценки изменения благосостояния потребителя при изменении ситуации, в которой он осуществляет выбор, т.е. изменении цен p и доходов R.

Перед экономистами часто стоит задача оценить изменения в благосостоянии потребителей при проведении мероприятий экономической политики.

Вообще говоря, мы можем говорить лишь о направлении изменения благосостояния, а не оценивать его величину. И, тем не менее, при расчетах издержек и выгод мероприятий экономической политики пытаются получить количественные оценки таких изменений. При этом используются так называемая непрямая денежная функция полезности.

Определение 34:

Непрямая денежная функция полезности p(q; p, R) — это доход, который требуется, чтобы при ценах q потребитель мог бы иметь тот же уровень полезности, что и при ценах p, располагая доходом R, т. е. p(q; p, R) = e(q, x(p, R)).

Другими словами, денежная непрямая полезность p(q; p, R) определяется как непрямая функция полезности для функции расходов e(q, x), рассматриваемой как функция полезности. Опишем, как ее можно использовать и какие проблемы при этом возникают.

Непрямая денежная функция полезности определяется на основе некоторого (произвольного) «эталонного» вектора цен q > 0.

ДрЫ = Mq, p1, R1) - Mq, p0, R0) = e(q, x(p1, R1)) - e(q, x(p0, R0)) = e(q, x1) - e(q, x0),

где x0 — спрос потребителя в исходном состоянии, а x1 — спрос потребителя в новом состоянии. Значение Ap(q), вообще говоря, может быть различным для разных векторов q и поэтому, соответствующие оценки изменения благосостояния содержат элемент субъективизма. Исключением являются квазилинейные предпочтения (предпочтения, которые можно описать квазилинейной функцией полезности).

В случае квазилинейности предпочтений все меры благосостояния эквивалентны с точностью до постоянного множителя, а в случае, когда цена последнего блага равна единице (единица «квазилинейного» блага является единицей измерения, numeraire), они совпадают. Покажем это, вычислив Ap(q) для квазилинейной функции полезности u(x1,... , Жг) = s(x1,..., Жц) + ж в предположении, что рг = 1. Вспомним, что в этом случае непрямая функция полезности имеет вид

г-1

v(p_b 1, R) = s(x1(p-i),..., xl-1(p-l)) + R - J2PiXi(p-i).

i=1

Пользуясь соотношениями двойственности, получаем, что функция расходов в случае квазилинейных предпочтений??, как мы видели выше, имеет вид e(p, x) = u(x) - s(x-^(p_J) + p_г). По определению непрямой денежной функции полезности p(q, p, R) = e(q, x(p, R)), поэтому

^^ P, R) = R) - s(x-i(q-i)) + q-ix-i(q-i).

Как видим, при любом фиксированном векторе цен q непрямая денежная функция полезности совпадает с точностью до константы (зависящей от q) с той непрямой функцией полезности, которая определяется естественной для квазилинейных предпочтений нормировкой. Отсюда по определению Ap(q) имеем

Ap(q) = p(q, p1, R1) - p(q, p0, R0) = v(p\ R1) - v(p0, R0).

В общем случае, когда значение Ap(q) зависит от выбора q, естественными кандидатами на роль вектора цен q представляются p0 и p1 (соответственно, цены в исходной ситуации, до изменений, и цены после изменений). В первом случае получим меру изменения благосостояния, называемую эквивалентным изменением дохода (EV), а во втором — меру изменения благосостояния, называемую компенсирующим изменением дохода (CV).

Определение 35:

Эквивалентное изменение дохода (эквивалентная вариация) — это такое приращение исходного дохода, которое обеспечивает в исходного ценах тот же уровень благосостояния, что и после изменений:

x(p0, R0 + EV(p0, R0, p1, R1)) - x(p1, R1).

Несложно убедиться, что

EV(p0, R0, p1, R1) = e(p0, x1) - R0 = Ap(p0).

Действительно, доход, достаточный для того, чтобы при ценах p0 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации после изменений (т.

e(p0, x1) - R0 = e(p0, x1) - e(p0, x0) = p(p0, p1, R1) - p(p0, p0, R0) = Ap(p0), где мы воспользовались тем, что если x0 — спрос потребителя при ценах p0, то e(p0, x0) = R0.? 3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 101

Пример 22:

Пусть функция спроса и функция расходов потребителя равны

^ Rp2 . a2Rp1 ^ Л _ Р1 P2(VXT + a^X2)2

x(P, R) = ,—2, Л2 w Л2 ,—2 и e(P, x) =

Р1Р2 + a2(p1)2' (Р2)2 + P2 + a2P1

соответственно. Найдем эквивалентную вариацию, отвечающую изменению цен от p0 = (2,1) до p1 = (1, 2) при условии, что доход оставался неизменным и был равен R. Непрямая денежная функция полезности для данного потребителя будет иметь вид

m, P, R) = —7—,—^r R.

Таким образом,

EV (p0,R P1 ,R) = ,(p«. P1, R) - R = РШ+Ц R - R. Подставляя p0 = (2,1) и p1 = (1, 2), получаем EV = ^^ R. Л

Определение 36:

Компенсирующее изменение дохода (компенсирующая вариация) — это такое уменьшение дохода в новой ситуации, которое позволяет в новых ценах достигнуть уровень полезности исходной ситуации:

x(p0, R0) - x(p1, R1 - CV(p0, R0, p1, R1)).

По определению денежной непрямой функции полезности доход, достаточный для того, чтобы при ценах p1 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации до изменений (т. е. при ценах p0 и доходе R0), равен ^(p1, p0, R0) = e(p1, x0). Кроме того, ^(p1, p1, R1) = e(p1, x1) = R1. Поэтому компенсирующая вариация равна изменению денежной непрямой функции полезности при q = p1:

CV(p0, R0, p1, R1) = e(p1, x0) - R1 = Ap(p1),

Отметим, что введенное понятие компенсирующей вариации — это то же самое изменение дохода, с которым мы сталкивались при рассмотрении закона спроса (см. ???).

Пример 23 (продолжение Примера 22):

В рассматриваемом случае при постоянном доходе компенсирующая вариация равна

CV(p»,fl, p'.R) = R - ,,(p«. p1,R) = r - РЩ+ЦR

При p1 = (1, 2) и p0 = (2,1) компенсирующая вариация равна CV = ) R. Л

Рассмотрим соотношение между этими мерами изменения благосостояния в простом случае, когда изменяется только цена одного блага (случай, который интересует нас при анализе последствий налогообложения): R0 = R1 = R, > p, p°1 = p^ = p_ 1.

EV = EV(p0, R0, p1, R1), CV = CV(p0, R0, p1, R1), x0 = x(p0, R), x1 = x(p1, R). M(P°,P? ^ Ж2
АЖ2

M(P\P°,R)
R/P? R/P1

R

cv

X?

R/Pi R/P? Рис. 3.8. Эквивалентная и компенсирующая вариация при R0 = R1 = R, р1 > р1, р2 = р2 = 1

Кроме того, поскольку в данном случае меняется только цена первого блага, с целью упрощения записи не будем в дальнейшем указывать остальные цены p 1 и доход R в качестве аргументов функций.

Рис. 3.8 предлагает графическую иллюстрацию для эквивалентной и компенсирующей вариаций в случае двух благ, когда цена второго блага равна единице (р0 = р1, = 1).

Проинтегрировав тождество de|(p,x) = h1(p, x) (лемма Шепарда для теории потребления) по цене первого блага от р1 до р1, получим

Эквивалентную и компенсирующую вариации можно представить в аналогичном виде (как уменьшение значения функции расходов для одной и той же кривой безразличия при падении цены первого блага с р0 до р1, см. Рис. 3.8):

EV = e(p1, x1) - R = e(p0, x1) - e(p1, x1), CV = R - e(p1, x0) = e(p0, x0) - e(p1, x0).

Таким образом,

Как известно?? из курсов микроэкономики начального и промежуточного уровня, изменение потребительского излишка вычисляется по формуле

0

m

ACS = ACS (p0, p1) = X1(t)dt.

Jp1

Из того, что р1 > р1 следует, что в данном случае все три величины неотрицательны (они положительны, если спрос строго положителен):

EV Z 0, CV Z 0, ACS Z 0.

Если эффект дохода неотрицателен (рассматриваемое благо — нормальное), то

h1(t, x0) ^ X1(t) ^ h1(t, x1) при р1 ^ t < р0.

Докажем эти неравенства формально. Спрос потребителя на первое благо, если его цена равна t (где р1 ^ t ^ р0) и доходе R равен ж (t) = X1(t, R). Пусть теперь доход потребителя стал равен e(t, x0). Несложно заметить, что доход потребителя уменьшился на неотрицательную величину CV(p0,t) = R — e(t, x0).

Аналогичным образом доказывается правое неравенство. Предположим, что доход потребителя изменился с R до e(t, x1), т. е. увеличился на неотрицательную величину EV(t,p^ = e(t, x1) — R. При этом x1(t, R) ^ x1(t, e(t, x1)) = h1(t, x1).

Рис. 3.9. Соотношения между хисксианским и маршаллианским спросом, используемые при доказательстве взаимосвязи эквивалентного, компенсирующего изменений дохода и потребительского излишка

Эти неравенства (в случае двух благ) иллюстрирует Рис. 3.9.

Интегрируя доказанные неравенства по t от p1 до p0, получаем, что имеет место соотно-шение

CV < ACS < EV.

Рис. 3.10 иллюстрирует это соотношение. Здесь CV = S(ABEF), ACS = S(ABDF) (заштрихованная область), EV = S(ACDF).

вариациями

Пример 24 (продолжение Примеров 22 и 23):

Положим p1 = 1 до p0 = 1 в формулах для эквивалентной и компенсирующей вариации:

CV = R _ p1(1 + a2p0) R = p0 — P1 R

p? (1 + a2p!) p? (1 + a2p1) ,

EV = p°(1 + a2p1) R _ R = p0 — P1 R p1(1 + a2p°) p1(1 + a2p°) ¦

Найдем также изменение потребительского излишка. Для этого требуется проинтегрировать спрос на первое благо, равный xi(pi) = pi(i+Rt2pi). Как несложно проверить,

ь' t w 1

Д + a2t/y t(1 + a2t)'

С учетом этого

Pi

ACS = R Г1 xi(t, 1,R)dt = Rln (—PV"n I - Rln ./pi + a2p0y

или

1 + a2p° у I 1 + a2pi

Pi(1 + a2 pi)'

ACS = R ln

4p1(1 + a2p?) у "

Можно заметить, что изменение потребительского излишка можно представить через эквивалентную и компенсирующую вариации следующим образом:

ACS = R ln(1 + if) = -R ln^ -

При малых t верно приближение ln(1 +t) ~ t, поэтому при малых изменениях цены все три измерителя изменения благосостояния примерно равны. Кроме того, ln(1 +1) < t при t = 0, поэтому, в подтверждение теории, выполнены неравенства Cf < ACS < if. Д

В случае квазилинейных предпочтений (при достаточно большом доходе) отсутствует эффект дохода для товара, который входит нелинейно.

if (pn, pi) = ACS(pn, pi) = Cf (pn, pi).

Геометрически эта ситуация означает что все три кривые спроса, изображенные на диаграмме, совпадают; следовательно, совпадают и три рассмотренные меры благосостояния.

Вообще говоря, полезности разных потребителей не сравнимы друг с другом, и их бессмысленно складывать. Однако на основе денежных мер изменения благосостояния можно получать некоторые оценки мероприятий экономической политики.

Предположим, что существуют n потребителей с функциями полезности u(xi) и доходами Ri . Пусть цены изменились с pn до p1 . Пусть, кроме того, в результате этого изменения цен суммарная величина компенсирующей вариации положительна, т. е.

? Cfi(pn,Ri, p1, Ri) > 0.

i

Покажем, что существует такое перераспределение доходов {Ri}: J2i Ri Ri ),что Vi(pi, Ri) >

Vi(pn, Ri) Vi, то есть, возможно компенсировать изменение цен каждому потребителю. По определению компенсирующей вариации имеем, что

CfE = ? Cfi(pn,Ri, pi,Ri) = ^(Ri - ei(pi,Xi(pn,Ri))) > 0

ii

Мы можем выбрать Ri так, что Ri > ei(pi,Xi(pn, Ri)) (достаточно взять Ri = ei(pi,Xi(pn, Ri)) + CfE/n). Покажем, что в этом случае Vi(pi, Ri) > Vi(pn, Ri) Vi.

Воспользовавшись возрастанием непрямой функции полезности по доходу и свойством двойственности между Vi(¦, ¦) и ei(-, ¦), получим

Vi(pi,Ri) > Vi(pi,ei(pi,Xi(pn,Ri))) = Vi(pn,Ri).

Это можно интерпретировать следующим образом: мероприятие экономической политики, характеризующееся положительной суммарной компенсирующей вариацией, может привести к росту полезности всех затронутых потребителей, если дополнить его соответствующим перераспределением дохода23. Однако следует отметить, что данная интерпретация предполагает, что такое перераспределение доходов не вызовет изменения цен. В рамках концепции общего равновесия, такое предположение оказываются, вообще говоря, некорректным.