8.3.5. Характеристика способов принятия решений на основе стохастического факторного анализа

Рассмотрим простейшую зависимость между результирующим экономическим показателем Y и воздействующим фактором Х (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Простейшая зависимость между результирующим экономическим показателем Y и воздействующим фактором Х

Для принятия управленческих решений требуется получение ответа на следующие вопросы:

1) влияет ли тот или иной фактор X на управляемый результирующий показатель Y?

2) каковы степень и характер влияния X на Y, определяющий вид их взаимосвязи (линейная или нелинейная, возрастающая или убывающая зависимость)?

3) каков уровень доверия к полученным модельным зависимостям Y от X?

4) как можно спрогнозировать изменение результата y при возможном изменении значения фактора X?

На все эти и другие вопросы дает ответы корреляционно-регрессионный анализ.

Простейшую зависимость показателя Y от фактора Х выражает линейная однофакторная модель вида:

y_ip =a₀ + a₁ ´ x_i,

где y_ip ¾ расчетное значение детерминированной основы показателя при заданном значении фактора x_i,

a₀ и a₁ ¾ статистические коэффициенты, получаемые путем обработки фактических данных о значениях определенной совокупности y_i и x_i.

Разница между фактическим значением показателя y_i при фиксированном x_i и расчетным значением детерминированной основы y_ip, именуемая случайной компонентой (остатком), определяется соотношением:

e_i = y_i - y_ip.

Расчетные значения y_ip находятся на линии регрессии, а фактические значения y_i располагаются в некоторой области, прилегающей к этой линии (рис.

Рис. 8.5. Пример построения однофакторной линейной регрессионной модели

Задача получения уравнения регрессии состоит в нахождении на основе пар наблюдений (x_i, y_i) таких значений коэффициентов a₀ и a₁, при которых линия регрессии пройдет максимально близко к точкам фактических наблюдений.

Наилучшим способом нахождения коэффициентов уравнения регрессии является метод наименьших квадратов, разработанный Гауссом и Лежандром, суть которого заключается в нахождении коэффициентов a₀ и a₁ для которых сумма квадратов разностей между фактическими значениями показателя y_i и расчетными y_ip, лежащими на линии регрессии, минимальна Se_i² ® min.

Показателем, характеризующим качество модели, может служить коэффициент детерминации:

R² = 1 - s²_ост.ср. : s_у² = 1 - S(y_i - y_ip)² : S(y_i - y_cp)².

Он характеризует ту долю совокупной (общей) дисперсии s_у², которая объясняется с помощью регрессионной модели. При R² = 1 все значения выборки лежат на линии регрессии. При R² = 0 уравнение регрессии ничего не объясняет.