ВЫПОЛНЕНИЕ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Рис. 19 I. Выполнение факторного анализа

Первый этап состоит в формулировании проблемы факторного анализа и определении пе­ременных, подвергаемых факторному анализу. Затем строится корреляционная матрица пере­менных и выбирается метод факторного анализа. Исследователь выбирает число факторов, ко­торые следует выделить, и метод вращения факторов. Далее повернутые факторы следует ин­терпретировать. В зависимости от целей, можно вычислить значения факторов или отобрать псремстшые-зачснители для представления факторов в последующем многомерном анализе. И наконец, смотрят, насколько хорошо подогнана факторная модель. Мы обсудим эти этапы подробнее в следующих разделах [5]. Формулировка проблемы Формулировка проблемы включает несколько задач. Во-первых, четкое определение целей факторного анализа. Переменные, подвергаемые факторному анализу, задаются исходя из прошлых исследований, теоретических выкладок и по усмотрению исследователя. Важно, что­бы переменные измерялись в интервальной или относительной шкале. Выборка должна быть подходящего размера. Опыт подсказывает, что рекомендуется брать выборку, по крайней мере, в четыре или пять раз больше, чем число переменных [6]. Часто при маркетинговых исследова­ниях размер выборки мал, и это отношение значительно меньше. В таких случаях следует осто­рожно интерпретировать результаты. Для иллюстрации факторного анализа предположим, что исследователь хочет определить основные преимущества, которые потребители хотят получить, покупая определенную зубную пасту. Маркетологи опросили в торговом центре 30 респондентов. Их попросили указать, ис­пользуя семибалльную шкалу (1 — полностью несогласен, 7 — полностью согласен), степень согласия со следующими утверждениями: У₁ — важно приобрести зубную пасту, которая предотвращает развитие кариеса; У₂ — мне нравится зубная паста, которая придает зубам белизну; — зубная паста должна укреплять десна; У₄ — я предпочитаю зубную пасту, которая освежает дыхание; У_} — предотвращение порчи зубов не является важным преимуществом данной зубной пасты; У_ь — наиболее важной причиной покупки данной зубной пасты является способность зуб­ной пасты улучшать внешний вид зубов.

Построение корреляционной матрицы В основе нашего анализа лежит матрица корреляций между переменными.

Из данных табл.

Нулевую гипотезу о том, что корреляционная матрица совокупности является единичной матрицей, отклоняют в соответствии с критерием сферичности Бартлетта. Приближенное зна­чение статистики хи-квадрат равно 111,314 с 15-ю степенями свободы, она является значимой при уровне 0,05. Значение статистики КМО (0,660) также большое (> 0,5). Таким образом, факторный анализ можно рассматривать как приемлемый метод для анализа корреляционной матрицы табл. 19.2. Таблица 19.3. Результаты анализа главных компонент Критерий сферичности Барі лоті а Приближенное значение статистики ки-яаздрат -• 111,314; число степеней свободы - 15; значимость - 0,00000 Критерий адекватности выборки Кайзера-Меііера-Омина - 0,660 Общности

Переменная Начальная Выделенная 1,000 0,926 1,000 0,723 ^ 1,000 0,894 1,000 0,739 1,000 0,878 1,000 0,790 Исходныесо&таскныезначения • Фактор Собсгвёхшов значение Процент дисперсии Кумулятивный процент 1 2,731 45,520 45,520 2 2,215 36,969 82,488 3 0,442 7,360 89,848 4 0,341 5,688 95,536 5 0,183 3,044 98,580 6 0,085 1,420 100,000 Сумма ивэдрагов нагрузок для выделенных факторов Фактор Собственное значение Процент дисперсии Кумулятивный процент 1 2,731 45,520 45,520 2 2,218 36,969 82,488 Матрица факторных нагрузок Фактор 1 Фактор 2 0,928 0,253 0,795 0,936 0,131 - 0,342 0,789 1/₅ - 0,869 - 0,351 -0,177 0,871 Суммы квадратов факторных нагрузок после вращения факторов Фактор Собственное значение Процент дисперсии Кумулятивный процент 1 2,688 44,802 44,802 2 2,261 37,687 82,488 Матрица фа* торны* нагрузок после вращения факторов Фактор 1 Фактор 2 ^ 0962 - 0,027 \1г -0,057 0,848 П 0,934 V* -0,098 0,854 V; -0,933

0,083 0,885 Матрица коэффициента значения факторов

"Нижний левый треугольник содержит вычисленную корреляционную матрицу; диагональ - общности; верхний правый тре­угольник — остатки между наблюдаемыми и вычисленными корреляциями.

Определение, основанное на критерии "каменистой осыпи". Графическое изображение кри­терия осыпи" представляет собой график зависимости собственных значений факторов от их номеров в порядке выделения. Для определения числа факторов используют форму графика. Обычно график имеет четкий разрыв между крутой частью кривой, где факто­рам свойственны собственные значения, и плавной хвостовой частью кривой, связан­ной с остальными факторами (в этом месте убывание значений факторов слева направо максимально замедляется). Это плавное убывание собственных значений называется осыпь (scree). Опыт показывает, что точка, с которой начинается осыпь, указывает на действи­тельное число факторов. Обычно число факторов, определенное по графику "каменистой ш-Г, на единицу или несколько единиц больше числа факторов, полученных методом, осно­ванным на собственных значениях. Определение на основе процента объясненной дисперсии. В этом методе число выделяемых факторов определяют так. чтобы кумулятивный процент дисперсии, выделяемой факторами, достиг удовлетворительного уровня. Какой уровень дисперсии считать удовлетворительным, зависит от поставленной задачи. Однако рекомендуется выделять такое число факторов, кото­рое объясняют, по крайней мере, 60% дисперсии. Определение, основанное на оценке надежности, выполняемой растстенисм. В этом методе выборку расщепляют напополам и факторный анализ выполняют для каждой половины. При этом оставляют только факторы с высокой степенью соответствия факторных нагрузок в двух подвыборках. Определение, основанное на критериях значимости. Можно определить статистическую зна­чимость отдельных собственных значений и оставить только статистически значимые факто­ры. Недостаток этого метода в том, что при больших размерах выборок (больше 200) многие факторы, вероятно, статистически значимые, хотя с практической точки многие из них объясняют небольшую долю полной дисперсии. В табл. 19.3, исходя из собственных значений факторов, превышающих единицу (по умол­чанию), будет выделено два фактора. Из опыта (предварительная информация) мы знаем, что зубную пасту покупают по двум основным причинам. График "каменистой осыпи" приведен на рис. 19.2.

Число факторов Рис. 19.2, График "каменистой осыпи ' На графике четкий разрыв виден в области трех факторов. И наконец, из значения кумуля­тивного процента объясненной дисперсии видно, что два первых фактора объясняют 82,49% дисперсии, и увеличение этого значения при переходе к трем факторам будет предельным. Кроме того, метод расщепления выборки также указывает на два фактора. Таким образом, в данной ситуации целесообразно рассмотреть:;!!.! фактора. Во второй колонке части табл. 19.3 под названием "Общности" дана информация после вы­деления желаемого числа факторов. Общности в колонке '"Выделенная" отличаются от значе­ний в колонке "Начальная", поскольку всю дисперсию, соответствующую этим переменным, нельзя о.оънанігь, если не оставить в модели все факторы. В части таблицы под названием квадратов нагрузок выделенных факторов" даны дисперсии, соответствующие рам, которые оставили в модели. Обратите внимание, что их значения совпадают со значения­ми дисперсий в колонке "Исходные собственные значения". Это характерно для анализа глав­ных компонент. Процент дисперсии, объясненной фактором, определяют, разделив соответст­вующее собственное значение на число факторов и умножив полученное значение на 100. Та­ким образом, первый фактор объясняет (2,731/6) х 100, или 45,52%, от дисперсии, соответствующей шести переменным. Аналогично, второй фактор объясняет (2,218/6) х 100, или 36,969% полной дисперсии. Интерпретация решения часто становится более ясной после вращения факторов. Вращение факторов Важный результат факторного ^ках^ s^; — матрица факторных нагрузок, также называемая матрицей факторного отображения (factor pattern matrix). Она содержит коэффициенты, ис­пользуемые для выражения нормированных переменных через факторы. Эти коэффициенты, называемые факторными нагрузками, представляют корреляции между факторами и перемен­ными. Коэффициент с высоким абсолютным значением показывает, что фактор и переменная тесно взаимосвязаны. Коэффициенты матрицы факторных нагрузок можно использовать для интерпретации факторов. Несмотря на то, что матрица исходных или неповернутых факторов указывает на взаимо­связь факторов и отдельных переменных, она редко приводит к факторам, которые можно ин­терпретировать, поскольку факторы коррелируют со многими переменными. Например, в табл. 19.3 фактор 1, по крайней мере, частично связан с пятью из шести переменных (абсолютное значение факторной нагрузки больше 0,3). Как интерпретировать этот фактор? В такой сложной матрице это трудно. Поэтому вращением матрицу факторных коэффициентов преобразуют более простую, которую легче интерпретировать. При правієм им факторов желательно, чтобы каждый фактор имел ненулевые или значи­мые нагрузки (коэффициенты) только для небольшого числа переменных. Аналогично, же­лательно, чтобы каждая переменная имела ненулевые или значимые нагрузки с небольшим числом фактором, если можно, то с одним фактором. Если несколько факторов имеют высо­кие значения факторных нагрузок с одной и той же переменной, то их трудно интерпретиро­вать. Вращение не влияет на общности и процент объясненной полной дисперсии. Однако процент дисперсии, обусловленной влиянием каждого фактора, изменяется. Это видно из данных табл. 19.3. В результате вращения дисперсия, объясняемая каждым фактором, пере­распределилась. Следовательно, разные методы вращения помогают интерпретировать раз­личные факторы. Rp iincimu называют ортогональным вращением (orthogonal rotation), если при вращении со­храняется прямоугольная система координат. Ортогональное вращение (orthogonal rotation) Вращение факторов, при котором сохраняется прямоугольная система координат. Самый распространенный метод вращения — метод варимакс (вращение, максимизирующее дне I it реи to) (va г i m а ч procedure). Метод . i или вращение, максимизирующее (varimax procedure) Ортогональный метод вращения факторов, который минимизирует число переменных с вы­сокими значениями нагрузок, усиливая тем самым интерпретируемость факторов. Это ортогональный метод вращения, который минимизирует число переменных с высоки­ми значениями нагрузок, усиливая тем самым интерпретируемость факторов [9]. В результате ортогонального вращения получают некоррелированные факторы. Вращение называют косо­угольным вращением (oblique rotation), если i к сохраняется прямоугльная система координат и в результате получают коррелированные факторы. Косоугольное вращение (oblique rotation) Вращение факторов, при котором не сохраняется прямоугольная система координат. Иногда, допустив некоторую корре.іянию между факторами, можно упростить матрицу факторной модели. Косоугольное вращение не пользуется тогда, когда факторы в генеральной совокупности, вероятно, тесно взаимосвязаны. Сравнив в табл. 19.3 матрицу фамирныл нагрузок, полученную после применения метода вращения варимакс, с матрицей факторных нагрузок до вращения (часть таблицы под назва­нием "Матрица факторных нагрузок"), мы увидим, как вращение упрощает и усиливает ин­терпретируемость факторов. В то время как в неповернутой матрице пять переменных коррели­руют с фактором I, после вращения с фактором 1 коррелируют только переменные V-,, ¥.,. Остальные переменные У₂> К и К коррелируют с фактором 2. Более того, ни одна из перемен­ных не коррелирует достаточно сильно с обоими факторами. Повернутая матрица создает осно­ву для интерпретации факторов. Интерпретация факторов Для интерпретации факторов необходимо определить переменные, которые имеют высокие значения нагрузок по одному и тому же фактору. А затем этот фактор следует проанализировать с учетом этих переменных. Другое полезное средство интерпретации — графическое изображе­ние переменных, координатами которых служат величины факторных нагрузок. Так, в конце оси расположены переменные, которые имеют большие нагрузки только в связи с этим факто­ром и, следовательно, характеризуют его. Переменные в начале координат имеют небольшие нагрузки в связи с обоими факторами. Переменные, расположенные вдали от осей, связаны с обоими факторами. Если фактор нельзя четко определить с точки зрения связи с исходными переменными, то его следует пометить как неопределяемый или генеральный (общий для всех переменных). 1,0

4® -1.0 -0,5 0,0 0,5 1 Фа>:| ор 1 Рис, 19.3. Диаграмма факторных нагрузок В повернутой матрице из табл. 19.3 фактор 1 имеет высокие коэффициенты для перемен­ных (предотвращение кариеса), (укрепление десен), и отрицательный коэффициент для переменной (предотвращение порчи зубов не считается важным при покупке зубной пасты). Следовательно, этот фактор можно назвать фактором, укрепляющим здоровье. Обратите вни­мание, что отрицательный коэффициент для негативной переменной ведет к положитель­ной интерпретации этого фактора, а именно, предотвращение порчи зубов будет важным при покупке зубной пасты. Фактор 2 тесно связан с переменными (белизна зубов), (свежее дыхание) и У₆ (привлекательность внешнего вида зубов). Таким образом, фактор 2 можно по- метить как фактор, огиечаюшми за внешний вид. Диаграмма факторных нагрузок на рис. 19,3 подтверждает эту интерпретацию факторов. Переменные К. 1-'. (обозначенные на диаграмме 1, 3 и 5 соответственно) находятся на конце горизонтальной оси, причем точка, соответствующая находится на конце, противо­положном месту расположения точек, соответствующих и В то же время переменные и (обозначенные на диаграмме 2, 4 и 6 соответственно) расположены на конце вертикаль­ной оси (фактор 2). Можно обобщим, данные, сделав вывод, что потребители, по-видимому, стремятся извлечь двойную пользу из зубной пасты: укрепить здоровье и приобрести хороший внешний вид. Вычисление значения фактора После интерпретации факторов необходимо вычислить их значения. Факторный анализ имеет собственную ценность. Однако если цель факторного анализа заключается в снижении исходного числа переменных до небольшого набора составных переменных (факторов), кото­рые в дальнейшем используются в многомерном то имеет смысл вычислить для каж­дого респондента значение фактора. Фактор представляет собой линейную комбинацию ис­ходных переменных. Значение для Л-го фактора можно вычислить по формуле F, - W/jX_t + иу, + WJC, +... + . Обозначения в этой формуле аналогичны приведенным выше. Веса или коэффициенты значения фактора, используемые для объединения нормирован­ных переменных, получают из матрицы коэффициентов значения фактора. Большинство ком­пьютерных программ позволяет вычислить значения факторов. Только в анализе главных ком­понент можно вычислить точные значения факторов.

Более того, в анализе главных компонент эти значения не взаимосвязаны. В анализе общих факторов оценки значений факторов получают, но нет гарантии, что факторы не будут корре­лировать между собой. Значения факторов можно использовать вместо исходных переменных в последующем многомерном анализе. Например, используя матрицу коэффициентов значения фактора в табл. 19.3, можно шчпеліпь два значения фактора для каждого респондента. Если нормированные значения переменной умножить на соответствующий коэффициент значения фактора, то получится значение данного фактора. Отбор переменных-заменителей Иногда, вместо вычисления значений факторов, исследователь может выбрать перемен­ные-заменители. Выбор переменных-заменителей (surrogate variables), заключается в выделении нескольких из исходных переменных для использования их в последующем анализе, Переменные-заменители (surrogate variables) Часть набора исходных переменных, выбрак^ы* для последующего анализа. Это позволит выполнить последующим анализ и интерпретировать результаты с точки зре­ния исходных переменных, а не значения факлорот;. Из матрицы факторных коэффициентов можно выбрать для каждого фактора переменную с наивысшим значением нагрузки на дан­ный фактор. Затем эту переменную используют в качестве перемен:юй-замените,! а для соответ­ствующего фактора. Этот процесс протекает гладко, если одна из факторных нагрузок перемен­ной значительно выше остальных. Однако сделать выбор не так легко, если нагрузки двух или больше переменных одинаково высокие. В таком случае выбор осуществляют, исходя из теоре- тических предпосылок. Например, теоретически предполагают, что переменная с несколько меньшей нагрузкой важнее, чем переменная с несколько большей нагрузкой. Аналогично, если переменная имеет несколько меньшую, но более точно измеренную нагрузку, то в качестве пе­ременной-имитатора следует выбрать именно ее. В табл. 19.3 переменные и имеют вы­сокие нагрузки в связи с фактором 1, причем достаточно близкие по величине. Переменная имеет относительно самое высокое значение и поэтому должна была бы оказаться вероятным кандидатом в переменные-имитаторы. Однако, исходя из предварительной информации, са­мым важным при выборе зубной пасты является ее способность порчу зубов, и поэтому в качестве переменной-заменителя для фактора 1 должна быть выбрана переменная Осуществить выбор переменной-заменителя для фактора 2 также непросто. Переменные К, V. и имеют сопоставимо высокие значения нагрузок на этот фактор. Если предварительная ин­формация свидетельствует, что привлекательность внешнего вида зубов — важнейший аспект обше| о внешнего вида, то следует выбрать переменную Определение подгонки модели Последняя стадия факторного анализа заключается в определении соответствия модели факторного анализа исходным данным, т.е. степени ее подгонки. Основное допущение, лежа­щее в основе факторного анализа, состоит в том, что наблюдаемая корреляция между перемен­ными может быть свойственна общим факторам. Следовательно, корреляции между перемен­ными можно вывести или воспроизвести из определенных корреляций между переменными и факторами. Изучив разности между наблюдаемыми корреляциями (данными в исходной кор­реляционной матрице) и вычисленными корреляциями (определенными из матрицы фактор­ных нагрузок), можно определить соответствие модели исходным данным. Эти разности назы­вают остатками (residuals). Если много остатков с большими значениями, то факторная модель не обеспечивает хорошее соответствие данным и требует пересмотра. Из данных табл. 19.3 вид­но, что только значение пяти остатков превышает 0,05, свидетельствуя тем самым о приемле­мом соответствии модели данным. Следующий пример иллюстрирует анализ главных компонент с точки зрения продвижения товара. ПРИМЕР. Компоненты, влияющие на продвижение на рынок промышленных товаров Цель этого исследования — определить достаточно большой набор контролируемых производителем переменных, имеющих отношение к продвижению его товаров в рознич­ную торговую сеть, и показать, что существует связь между этими переменными и реше­нием розничного торговца о поддержке усилий производителя по продвижению товара. Решения о поддержке определяли по отношению розничного торговца к усилиям по про­движению товара.

Факторный анализ выполнили по объясняющим переменным, руководствуясь главной целью — снизить количество переменных. Методом главных компонент с использованием метода вращения варимакс уменьшили 30 объясняющих переменных до 8 факторов с собст­венными значениями выше 1,0. Для интерпретации каждый фактор включал в себя пере­менные с нагрузками на этот фактор от 0,40 и выше. В двух случаях, когда переменные име­ли нагрузки 0,40 и выше на два фактора, каждой переменной присвоили один фактор, на­грузка на который была выше. Только одна переменная "легкость погрузочно-разгрузочных работ, накопление запасов в торговых точках" не имела нагрузки, по крайней мере, равной 0,4, ни на один из факторов. В целом, 8 факторов объясняли 62% суммарной дисперсии. Интерпретация матрицы факторных нагрузок оказалась несложной. В табл. 1 перечислены факторы в порядке их выделения. Т

Для того чтобы определить, какой из восьми факторов (если такой фактор существует) предсказывает содействие продвижению товара на рынок в статистически значимой степе­ни, выполнен пошаговый дискриминантный анализ. Значения всех восьми факторов вы­ступают объясняющими переменными. Зависимая переменная состоит из ■ щенки (рейтинга) розничным торговцем деловых отношений с производителем, которую разбива­ют на три группы, в зависимости от степени содействия в продвижении товара (низкая, средняя, высокая). Результаты дискриминантного анализа приведены в табл. 2.

Все восемь факторов присутствуют в днскмми.чантных функциях. Критерии согласия указали н.* то, что все восемь факторов дискриминировали (различали) высокий, средний и низкий уровни содействия продажи для многомерной выборки, зывающие на степень дискриминации между каждой парой групп, были значимыми при р < 0,001. 65% случаев было верно отнесено к высокому, среднему и низкому уровню содейст­вия продвижению товаров. Использовался порядок введения в дискриминантный анализ. I Для того чтобы определить относительную важность факторов, влияющих на содействие торговле, факторы в дискриминантную функцию вводили в порядке, указанном в ]' табл. 3 [10], Таблица 3. Относительная важность факторов, влияющих на содействие торговле i (показано с помощью порядка ввода в дискриминантный анализ) I Анали3 рейтинга I Порядок ввода Название фактора 1 Важность товара 2 Эластичность продвижения ТОВЗрй на рынок 3 Поддержка торговой марки производителем 4 Репутация производителя Истощение лрсде^женж товара о Оборачиваемость продаж

7 Рентабельность товара

поощрения В следующем разделе описан анализ общих факторов с примерами применения этого метода.