Ценообразование на рынке ценных бумаг

Основной недостаток классической концепции ценообразования на капитальные активы состоит в том, что она не учитывает вероятностный характер ожидаемых доходов и взаимозависимость доходностей всех финансовых инструментов. С позиций современной экономической тео­рии отличие между дисконтированной суммой ожидаемых доходов ка­питального актива и его ценой примерно такое же, как между ценой бла­га, определенной по модели частичного равновесия (на отдельном рын­ке данного блага), и его ценой, установленной с помощью модели общего экономического равновесия. Тем не менее метод капитализации ожида­емых доходов в качестве модели ценообразования на рынке ценных бу­маг может быть применим для финансовых инструментов с гарантиро­ванными номинальными доходами, т.е. для облигаций.

Цена облигации. При определении цены облигации решающими являются следующие ее характеристики: величина выплат владельцу облигации за период — купонный доход (г); предстоящий срок ее обра­щения (Г); сумма гашения в конце срока обращения (В); рыночная ставка процента (г). Согласно концепции капитализации доходов

А) =5(1 + 0 т + + 0 (5.11)

ь=х

где Во — цена облигации в текущем (нулевом) периоде.

Обычно за все годы обращения облигации дивиденды выплачивают­ся в одинаковом размере: г\=22 = ... = гт = а; тогда формула (5.11) при­нимает вид ^

В0 = В( 1 + г)~т + аУ(1 + г)~г = 5(1 + 1ут + + =

;=1 |(1 + 0Г

а ( аЛ г (5Л2>

= у+ 5-у (1 + г) •

Когда рыночный курс облигации меньше значения, получаемого по формуле (5.12), тогда следует ожидать повышения курса, в противном случае — понижения.

Кроме нынешней цены облигации может представлять интерес ее цена на момент гашения (Вт):

Т

Вт =В + а^(\ + г)Т г. (5 13)

Она показывает, какую сумму денег получит владелец облигации в момент ее гашения в случае реинвестирования всех дивидендов под сложные проценты.

Из четырех параметров (а, В, I, Т), определяющих цену купонной облигации, два первых являются известными константами. Рассмот­рим, как влияют на цену облигации изменения срока ее обращения и рыночной ставки процента.

При а/В = I цена облигации равна ее номиналу независимо от остав­шегося срока ее обращения, так как в этом случае выражение (5.12) принимает следующий вид:

аВ („ аВ\ ,л ,^_т

Д = —+ 5-— (1 + І) =В; £ = 1,2,..., Г.

а \ а)

Если а/В > і, то Ві > В, но по мере приближения к моменту гашения облигации разность ('Ві — В) уменьшается. Когда а/В < і, тогда Ві< В и Ві приближается к В снизу.

Если, например, владелец облигации полагает, что в недалеком бу­дущем рыночная ставка процента стабилизируется на уровне 10%, т.е. ге = 10, то гк = 9, и облигация будет им продана при г < 9.

График функции спроса индивида на деньги как имущество изобра­жен на рис. 4.10, а. Каждый хозяйствующий субъект имеет свое пред­ставление о величине критической ставки процента. Тем не менее мно­жество этих ставок ограничено сверху и снизу. Существует некоторое г'тах. при котором облигации становятся настолько привлекательными, что никто не желает в составе имущества иметь деньги. И наоборот, при некотором гтщ неудобства хранения имущества в виде облигации (меньшая по сравнению с деньгами ликвидность, нестабильность кур­са) не компенсируются доходом на нее и никто не будет держать обли­гации.

а у = д/о,6(150 - 200)2 + 0,4(275 - 200)2 = 61,2.

Вычислим ковариацию

соw(oc,y)= 0,2• (150 - 200)-(50 - 100) + 0,1 -(150 - 200)-(100 - 100) + 0,3х х(150 - 200)• (130 - 100) + 0,1-(275 - 200)-(50 - 100) + 0,1 -(275 - 200)-(100 - - 100) + 0,2-(275 - 200)-(130 - 100) = 125.

Теперь можно определить коэффициент корреляции

125

р = ——— = 0,06.

к 34,6-61,2

В дальнейшем нам придется воспользоваться еще рядом положений теории вероятностей. Ожидаемое значение суммы случайных перемен­ных равно сумме их средних ожидаемых значений

х + у = х + у. Если а и b некоторые константы, то

ах + Ьу = ах + Ьу. (5-1)

Дисперсия суммы двух случайных переменных

а2ах+Ьу = а2ах+ь2аУ+2аЬРахаУ (5-2)

Если случайные переменные стохастически независимы, то р = 0, тогда

2 _ 2 2 °Х+у - °Х +°У’

Для иллюстрации этих выводов проследим за изменением ценности пяти различных облигаций с одинаковым номиналом 100 ден. ед., характе­ристики которых представлены в табл. 5.6, при фиксированной текущей ставке процента, равной 10%. Результаты расчетов, проведенные по форму­ле (5.12) для каждого периода 6 представлены в табл. 5.7 и на рис. 5.13.

Таблица 5.6

Рис.

Проанализируем теперь, как влияет на ценность облигации колеба­ние ставки процента. Из выражения (5.11) следует, что при ее измене­нии с ф ДО і і нынешняя ценность облигации изменится на

АД) 0- + Ч) ї-(1 + го) ?

t=1

где 2^ при (£ = Т) — купонная выплата плюс сумма гашения облигации.

Из формулы (5.14) следует, что А Во < 0 при ц > ф, и наоборот, т.е. при повышении (понижении) ставки процента цена облигации снижа­ется (повышается).

Соответственно из формулы (5.13)

АВТ ~ (1 + %)Г ї_(1 + го)Г 1

і=1

Согласно выражению (5.15) А5у> 0 при ц > ф, и наоборот, т.е. при повышении (понижении) ставки процента владелец облигации в мо­мент ее гашения получит больше (меньше), чем ожидал.

Таким образом, в случае повышения ставки процента нынешняя цена облигации снижается, но к моменту ее гашения держатель обли­гации при реинвестировании дивидендов будет иметь больше, чем ожи­дал. При понижении ставки процента обладатель облигации в текущем периоде окажется богаче, но к моменту ее гашения он накопит меньшую сумму, чем при исходной ставке процента.

Пример 5.4. При ставке і = 8% нынешняя цена облигации номиналом в 100 ден. ед. с пятилетним сроком обращения и ежегодным доходом в 12 ден. ед. составит

12(1,085 - 1)/(0,08-1,085) +100/1,085 = 115,97 ден. ед.,

а ее ценность к моменту гашения будет 115,97 • 1,085 = 170,4 ден. ед.

Если сразу после покупки облигации ставка процента возрастет до 12%, то нынешняя цена облигации будет равна номиналу, а в момент гашения владе­лец получит 176,2 ден. ед. Несмотря на то что из-за повышения ставки процен­та нынешняя цена облигации снизилась почти на 16 ден. ед., к моменту ее га­шения при реинвестировании годовых доходов инвестор получит больше, чем ожидал, на 5,8 ден.

Если бы после приобретения облигации ставка процента, наоборот, снизи­лась на 4%, то в настоящее время обладатель акции был бы на 20 ден. ед. богаче, но через 5 лет вместо ожидавшихся 170,4 он имел бы лишь 165 ден. ед.

Как изменяется цена облигации в каждом из периодов срока ее об­ращения при различных ставках процента, определяется по формуле

вг =-+^в-~у 1+;/'г.

Результаты расчетов представлены в табл. 5.8 и на рис. 5.14.

Таблица 5.8

Обратим внимание на то, что при снижении ставки процента не уда­ется предотвратить снижения накоплений, ожидавшихся к моменту гашения облигации, за счет ее продажи по возросшей цене и предостав­ления вырученной суммы в ссуду под сложные проценты (135,6-1,045 = = 165).

Пересечение кривых, представляющих динамику текущей цены обли­гации в течение срока ее обращения при различных ставках процента (см. рис. 5.14), свидетельствует о том, что существует определенный момент, в который текущая цена облигации не зависит от изменения ставки про­цента. В приведенном примере таким моментом является четвертый год. Эту особенность динамики ценности облигации (капитализируемого до­хода) в теории финансов используют при выработке рекомендаций по нейтрализации риска от изменения рыночной ставки процента.

Цена акции. В отличие от облигации факторы, определяющие цен­ность акции, являются вероятностными величинами. Будет ли на про­стую акцию периодически выплачиваться дивиденд, а если будет, то в каком размере, — эти вопросы руководство фирмы решает в оператив­ном порядке в зависимости от результатов деятельности фирмы и стра­тегии ее развития. Эмитент акции не берет на себя обязательство ее выкупа через какое бы то ни было время, поэтому акция не имеет цены гашения. Вместо нее инвестор имеет дело с прогнозируемым на опре­деленный момент рыночным курсом акции, который в силу отмечен­ных обстоятельств очень изменчив. В табл. 5.9 в качестве примера по­казаны изменения курса акций ряда российских кампаний за один день 22 февраля 2002 г[49].

В настоящее время существует несколько концепций определения цены рискового актива. Традиционный способ основан на использова­нии формулы (5.11), в которой zt представляет ожидаемый доход на акцию в период £ Теория портфеля послужила основой возникновения двух современных концепций ценообразования на рынке рисковых активов — модели рынка[50] и модели ценообразования капитальных ак­тивов САРМ (capital asset pricing model)[51].

Модель рынка. В основе модели рынка лежит следующий из теории портфеля постулат: доходность и риск обращающейся на рынке акции определяются только доходностью и риском рыночного портфеля. До­ходность рыночного портфеля (гм) исчисляется как средневзвешенная доходность всех обращающихся акций

где qj — удельный вес капитализации фирмыу в общей капитализации рынка (;'= 1 Мерой риска финансового рынка служит вариация

ожидаемой доходности или стандартное отклонение.

Для представления в явном виде зависимости доходности акцииу-го вида от доходности рыночного портфеля используют модель линейной регрессии, уравнение которой имеет вид

Гу=(Ху+руГм+Єу,

где осу, Ру — коэффициенты регрессии; еу — случайная стохастическая переменная с нулевым ожиданием.

Согласно модели рынка доходность акции представляется в виде двух компонентов: осу и Ругм. Первая зависит от свойств дан­ной акции, а вторая пропорциональна доходности рыночного порт­феля. Для экономической интерпретации Ру примем во внимание, что в регрессионной модели этот коэффициент вычисляется по фор­муле

СОУ (гггм) р]МСу

с7м

где рщ — коэффициент корреляции между доходностями рыночного портфеля иу-го вида рискового актива; ам и оу — соответственно их стандартные отклонения.

Коэффициент Ру является степенью рискау-й акции относительно степени риска рыночного портфеля: при Ру > 1 риск данной акции боль­ше, чем рыночного портфеля, при Ру < 1 — наоборот.

Пример 5.5. В табл. 5.10 представлена динамика индексов АК&М и рос­сийской энергетической промышленности, а также рассчитанные на их осно­ве изменения доходности с 5 января 1999 г. по 1 февраля 2002 г.

На основе этих данных на рис. 5.15 показаны результаты расчетов ожидае­мой доходности акций энергетики, имевших, как свидетельствует коэффици­ент (Зу, меньший риск, чем доходность рыночного портфеля акций.

Рис. 5.15. Корреляция доходностей акций энергетики и рыночного портфеля 7?2 — коэффициент корреляции

В соответствии с рассматриваемой концепцией доходность не толь­ко отдельной акции, но и любого портфеля, составленного из обращаю­щихся на рынке акций, определяется характеристиками рыночного порт­феля. Если в приведенных выше рассуждениях на место акции вида у поставить некий портфель, то придем к выводу, что гр = ар + где

Гр — ожидаемая доходность портфеля. Она зависит как от объема и структуры данного портфеля, так и от доходности рыночного портфе­ля и соотношения рисков их обоих. По мере приближения структуры данного портфеля к структуре рыночного величина ар будет стремить­ся к нулю, а величина Рр — к единице.

Модель ценообразования капитальных активов. В отличие от моде­ли рынка, постулирующей исключительную роль характеристик ры­ночного портфеля при определении доходности отдельных рисковых активов, САРМ обосновывает это положение.

Из теоремы сепаратности теории портфеля следует, что у всех покупателей акций структура спроса одинакова; хотя размеры порт­фелей у инвесторов различны, все они хотят иметь одинаковый ас­сортимент рисковых активов. Для обеспечения равновесия на рынке рисковых ценных бумаг необходимо, чтобы структура предложения совпадала со структурой портфеля, определяемой на рис. 5.16 точ­кой М — точкой касания прямой, проходящей через / с линией облас­ти эффективного выбора портфеля. Отсюда вытекает исходное по­

ложение САРМ: при равновесии на рынке ценных бумаг рыночный портфель как совокупность всех обращающихся на рынке рисковых активов совпадает с оптимальным для инвесторов портфелем. По­этому в состоянии равновесия ожидаемая доходность имущества (т>), определяемая по формуле (5.8), у любого инвестора равна

ro=i + !M^±on. (5.17)

аМ

Рис. 5.16. Линия рынка капитала

Уравнение (5.17) получило название уравнение линиирынка капи­тала CML (capital market line), ко­торая показана на рис. 5.16. Она представляет множество эффек­тивных структур финансовых вло­жений при равновесии на рынке рисковых ценных бумаг. Это озна­чает, что при равновесии на фи­нансовых рынках имущество ра­ционального инвестора состоит из рыночного портфеля определен­ного размера и вложений или за­долженности на денежном рынке.

Угол наклона CML отражает цену риска вложений на рынке рисковых активов: он показывает, насколько повышается доходность имущества инвестора при увеличе­нии на единицу их риска, который изменяется прямо пропорциональ­но изменению доли рисковых активов в общей сумме имущества. Иначе говоря, tga — предельная доходность риска имущества при наличии на рынке рисковых и безрисковых активов (drv/dcyv).

Можно доказать[52], что приведенное соотношение у рыночного порт­феля акций определяется по формуле

drM rM ~ rj

daM оM~PjMG

где rj, суу, рjM — соответственно ожидаемая доходность, мера риска и ко­эффициент корреляции некоторогоу-го вида рисковых активов.

Поскольку структура рыночного портфеля определяется точкой касания прямой СМЬ с эффективной областью выбора портфеля, то с/Гц / = йгм / Поэтому

Второе слагаемое в формуле (5.18) представляет премию за риск: ожидаемая доходность рискового активау превышает доходность безрис­ковой ссуды. Если риск измерять посредством ковариации доходностей у-й акции и рыночного портфеля, то (гм - г) / ст^ есть цена риска.

В графическом виде зависимость между ожидаемой доходностью рискового актива и величиной присущего ему риска (формула 5.18) представляется линией рынка ценных бумаг SML (security market line), изображенной на рис. 5.17, а. Она показывает, что между доходностью и риском финансового актива существует положительная линейная зависимость. В отличие от линии CML, которая показывает, как растет ожидаемая доходность имущества по мере роста его риска, линия SML представляет связь между ожидаемой доходностью отдельной акции и ее риском, измеряемым посредством cov{rj,r^ j.

Обратим теперь внимание на то, что сомножитель, стоящий за скобкой в уравнении (5.18), есть коэффициент (Зу, характеризующий в модели ли­нейной регрессии взаимозависимость между 7j и гдус (Зу = cov|ry,r)^j/ay^. Поэтому уравнение линии SML можно записать следующим образом:

rj=i + $j(rM-i)- (5.19)

Ее график изображен на рис. 5.17, б.

Варианты: а — I, б — II

Ожидаемую доходность акции за период можно представить в виде г;-=^ ]- = 1, (5.20)

где .Ку — сумма ожидаемых дивидендов плюс цена акции на конец пе­риода; 2] — текущая цена акции.

Из формул (5.19) и (5.20) следует, что в модели САРМ

-1 =»+ р -(гм - 0 =» г7- = ^ ------ -, (5.21)

2} 1 + г + Р7-(гм-г)

т.е. цена рискового актива определяется путем дисконтирования ожи­даемого от него дохода по рыночной ставке процента, увеличенной на премию за риск.

Пример 5.6. Определим равновесную цену акции, на которую через год в виде дивидендов и выручки от ее продажи ожидается получить 110 ден. ед. с вероятностью 0,35; 120 ден. ед. с вероятностью 0,45 и 130 ден. ед. с вероятно­стью 0,2. Предполагается также, что индекс рынка акций, равный в настоящее время 1600, через год с вероятностью 0,35 примет значение 1750, с вероятнос­тью 0,45 - 1700 и с вероятностью 0,2 - 1800. Доходность безрисковых вложе­ний равна 8%.

Рассчитаем ожидаемый доход на данную акцию ( К] ), ожидаемую доход­ность и риск рыночного портфеля, а также соу ('в.],гм:

К = 0,35-110+ 0,45-120+ 0,2-130 = 118,5;

?м = 0,35 -^- + 0,45 + 0,2 = 0,08594;

м 1600 1600 1600

2 2

о2м = 0,35-Г0,08594 | + 0,45-|0,08594 м ^1600 ) ^1600

( 200 42

+ 0,2 0,08594 =0,0005737.

^1600 )

соу (^-, гм ) = 0,35 • (110 -118,5) • (0,09375 - 0,08594) +

+ 0,45-(120-118,5)-(0,0625-0,08594)+

+ 0,2-(130-118,5)-(0,125-0,08594) = 0,05078.

Прежде чем продолжить расчет равновесной цены данной акции, устано­вим, в каком соотношении находятся значения соу|гу,гд^|, необходимое для определения величины |3у, и соч(Ёу,гмдля вычисления которого в рассмат­риваемом примере имеются следующие данные:

П

сот(^'.%) = Е(г7/ ~7]){гм -гм)щ =

1=1

f щ Ri л

Z,- Z,-

V J J J

Ъ\( -\ Ст\К3’Гм)

=—МКА-Щгм-гм)щ =------------- ~----

21=1 2з

где п — число всевозможных исходов; Ш1[ — вероятность исхода п. Тогда

со y[Rj,rM

Р,‘ =

] 2 zjPM

Подставим данное выражение в формулу (5.21)

Rj _Rj-cov(Rj,m){fM-i)/°M

1 ^ со у{Ёггм)(_ л [53] 1 + i

2 Ы~г)

zpM

В условиях примера

118,5 - 0,05078 • 0,00594/0,0005737 Zj ~ 1,08

109,24.

Теория арбитражного ценообразования APT (arbitrage pricing theory). Она возникла как дальнейшее развитие модели САРМ в кон­це 1970-х гг.1. Сама теория достаточно сложна и подробно излагается лишь в специальных учебниках по корпоративным финансам. Здесь ограничимся изложением ее сути на числовых примерах.

В основе теории лежат два положения:

• в состоянии общего экономического равновесия на всех конку­рентных рынках, включая рынок ценных бумаг, устанавливаются цены, исключающие возможность арбитража;

• ожидаемая величина и риск дохода ценной бумаги определяются не одним, как в модели САРМ (колебаниями доходности рыночного портфеля), а несколькими факторами (колебаниями ВВП, темпа инф­ляции, обменного курса национальной валюты и др.).

Пример 5.7. Цены обращающихся на рынке акций А, В, С иД равны 77; 85; 110 и 75 ден. ед. Ожидаемый от них через год доход зависит от того, сохранится ли существующий обменный курс национальной валюты, повысится он или снизится (табл. 5.11).

Таблица 5.11

При текущих ценах в рассматриваемом примере возможен арбитраж. Со­ставим портфель из трех первых акций, обеспечивающий такой же ожидаемый доход, какой имеет акция Б. В такой портфель нужно включить 2,43 акций А, 0,22 акций В и -1,24 акций С (т.е. продать взятое на время это количество ак­ций С). Структура такого портфеля находится из системы уравнений

бОац +100x2 + 95хз = 60

- 75хі + 75x2 +120хз = 50 => х\ = 2,43; Х2 = 0,22; Х3 = -1,24.

90хі + 75x2 +Ю5хз = Ю5

Его цена будет: 77-2,43 + 85-0,22 — 110-1,24 = 69,4. Следовательно, продав акцию Б и купив указанный портфель, получим 75 - 69,4 = 5,6 ден. ед. дохо­да. По мере увеличения предложения акций Б и спроса на остальные акции на рынке акций установится система цен, исключающая получение арбитражного дохода. Одной из таких систем может быть: 2д= 77; 2д = 85; 2 7,р = 3,75; 7,2 = 2,5 7,3 = 8,75

7.0 + 0,57.р + 0,87-2 ~ 12.

Допустим, фирма Б решает выйти на рынок капитала, предлагая свои ак­ции с ожидаемой доходностью гд = 11 при Рді = 0,75 и Рд2 = 0,45. Из акций А, ВиСможно составить портфель, имеющий такую же чувствительность к фак­торам риска, какую имеет акция Б. Возьмем, например, 0,4 акции А, 0,257 ак­ции В и 0,134 акции С. Коэффициент чувствительности этого портфеля к из­менению темпа роста ВВП равен

0,4-1 + 0,257-1,1 + 0,134-0,5 = 0,75, а к изменению темпа инфляции

0,4-0,6 + 0,257-0,4 + 0,134-0,8 = 0,45, но его ожидаемая доходность ниже, чем у акции фирмы Б 0,4-11,5 + 0,257-10 + 0,134-12 = 8,78.

Поэтому имеется возможность арбитража. Осуществим «пустую продажу» составленного портфеля и на вырученные деньги купим акции фирмы Б. Ре­зультаты этой операции в расчете на 1000 ден. ед. представлены в табл. 5.13.

Использование обнаруженной возможности выигрыша на описанной опе­рации приведет к снижению цен акций, входящих в портфель, и повышению цены акции фирмы D. Когда возможности арбитража будут исчерпаны, на рынке акций снова установится равновесие и цена акции D примет свое рав­новесное значение.

Сравнивая концепции APT и САРМ, можно отметить, что теория арбитражного ценообразования может быть представлена в многопери­одном варианте, в ней не предполагается в качестве обязательного ус­ловия существование финансового инструмента с безрисковой доход­ностью и для ее применения не нужно исчислять среднеожидаемое зна­чение дохода от ценных бумаг и его вариацию. С другой стороны, САРМ представляет собой модель определения всей системы равновес­ных цен обращающихся на рынке ценных бумаг, в то время как APT объясняет формирование равновесной цены на отдельную, вновь появ­ляющуюся на рынке акцию.