6.1. модели денежных потоков и оценка их стоимости

Именно в этот период были сформированы основные модели ценообразования на различные финансовые инструменты, что позволило понять природу финан­совых рынков и эффективно решать впоследствии задачи инвестирования и финан­сирования. Неоклассические модели стоимости финансовых инструментов осно­вываются на предположениях о совершенном рынке, рациональности участников рынка и равновесности рыночных цен. Для моделирования финансовых инстру­ментов в них применяется понятие денежного потока, характер которого может изменяться для различных финансовых инструментов. В настоящей главе снача­ла рассматриваются абстрактные модели денежных потоков различных видов и производится оценка их стоимости, а затем на их основе выводятся модели оцен­ки стоимости реальных финансовых инструментов. Важно отметить, что подход на основе моделей денежных потоков оказывается универсальным. Действуя та­ким образом, можно сформировать модели стоимости любых других финансовых инструментов, которые не были рассмотрены в настоящей главе.

Современная теория рынка капитала утверждает, что стоимость финансовых ин­струментов зависит от денежных поступлений или выплат, генерируемых данным финансовым инструментом в будущем. Таким образом, для описания произволь­ного финансового инструмента может быть использована абстрактная модель денежного потока. Модель денежного потока представляет собой совокупность денежных выплат, поступающих в разные моменты времени. Денежные выплаты могут иметь положительный знак — это означает, что держатель данного денеж­ного потока получает выплату; и отрицательный знак, если держатель денежного потока совершает выплату.

Можно говорить о равномерных денежных потоках, если выплаты совершают­ся через равные промежутки времени. Будем иметь дело с неравномерным денеж­ным потоком, если выплаты совершаются через различные промежутки времени. Любой неравномерный денежный поток может быть приведен к равномерному путем выделения дополнительных временных интервалов и добавления нулевых выплат. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только равномерные во вре­мени денежные потоки.

В зависимости от характера выплат можно разделить денежные потоки на три разновидности: денежные потоки с определенными, неопределенными и обуслов­ленными выплатами.

Определенные денежные потоки — это такие, для которых в момент оценки известны величины будущих выплат и моменты их поступления. К финансовым инструментам, которые могут быть описаны с помощью модели определенного денежного потока, относятся долговые инструменты. Например, купонные обли­гации с фиксированной купонной ставкой или банковские депозиты с фиксиро­ванной ставкой.

Неопределенные денежные потоки предполагают неизвестные по величине буду­щие выплаты. Величина будущих выплат в таких денежных потоках рассматрива­ется как случайная величина с некоторой функцией распределения вероятностей. С помощью модели неопределенного денежного потока можно описывать финан­совые инструменты, имеющие долевой характер, например акции.

Обусловленные денежные потоки предполагают, что будущие выплаты равны определенной величине при выполнении некоторого условия. Модель обуслов­ленного денежного потока применяется для описания таких финансовых инстру­ментов, как опционы.

Финансовые инструменты, обладающие соответствующим денежным потоком, создают для их держателей разнообразные риски. Особое внимание следует уде­лить риску, который связан с типом денежного потока, описывающего финансо­вый инструмент. Этот риск в финансовой литературе принято называть риском неопределенности будущих денежных потоков.

В основе оценки стоимости денежных потоков лежит представление о вре­менной ценности денег. Одинаковые по величине денежные суммы, поступаю­щие в распоряжение экономического субъекта в разные моменты времени, раз­личаются для него по своей ценности. Рубль сегодня оказывается ценнее рубля, который может поступить через год. Это происходит потому, что сегодняшний рубль можно вложить в доходный актив и через год получить сумму, большую, чем один рубль, на величину процентных выплат. Таким образом, оказывается невозможным проведение прямого сопоставления разновременных денежных сумм. Чтобы сопоставлять денежные суммы, поступившие в разное время, не­обходимо привести их к одному моменту времени. Для этого используются опе­рации дисконтирования и наращения (компаундирования или капитализации). Дисконтирование — приведение разновременных денежных потоков к началь­ному моменту. Наращение — приведение разновременных денежных потоков к будущему моменту времени. Операции дисконтирования и наращения осущест­вляются с учетом возможности альтернативного вклада с отдачей в виде перио­дических процентных выплат.

Процентная выплата (процент) — доход в денежной форме, получаемый кре­дитором за пользование его денежными средствами. Процентная ставка — относи­тельный процентный доход, выраженный в процентах годовых от номинала. Про­центные выплаты могут начисляться различными способами.

Практическое использование получили две схемы начисления процентов: про­стого и сложного процента. Схема простого процента — начисление процентной выплаты без учета накопленного дохода (без учета реинвестирования процентных выплат). Схема сложного процента — начисление процентной выплаты с учетом накопленного дохода (с учетом реинвестирования процентных выплат).

Пусть FV — будущая стоимость, PV — текущая стоимость, г — ставка процента по альтернативному вкладу, измеренная в долях единицы, Ь — количество перио­дов начисления процентных платежей (время). По схеме простого процента мо­жем записать:

IV = PV(1 + Г).

По схеме сложного процента:

IV = PV(1 + г)¹.

Здесь множители (1 + тЬ) и (1 + т)Ь называются коэффициентами наращения. Или относительно текущей стоимости:

ГУ ГУ РУ =--------------- , РУ = .

(1 + ті) (1 + т)¹

Здесь множители:

1 1

---------- и --------------- г

(1 + тЬ) (1 + т)^Ь

называются коэффициентами дисконтирования.

Чаще всего начисление простого процента используется при оценке стоимости и до­ходности краткосрочных финансовых инструментов (срок погашения до одного года), а схема сложного процента — при расчетах по средне- и долгосрочным финансовым инструментам (со сроком обращения более одного года). Если £ оказывается нецелым количеством лет, то допускается комбинированный расчет. Например, пусть £ равно Т лет и т дней, тогда будущую стоимость можно рассчитать следующим образом:

ГУ = РУ(1 + т)^т + .

Иногда, в особенности в сложных теоретических расчетах, применяют третий способ начисления процентов — непрерывный процент. Согласно модели непре­рывного процента, начисление процентных выплат производится в течение бес­конечно малых промежутков времени так, что общая процентная выплата за год составит г процентов годовых. Тогда соотношения между текущей и будущей вы­платами будут выглядеть следующим образом:

ГУ = РУ • е^тЬ; РУ = ГУ • в-^т.

С помощью полученных соотношений между текущей и будущей стоимостями можно осуществлять операции дисконтирования и наращения.

Применение в практических расчетах текущей и будущей стоимостей различ­ных схем начисления процентов, простых и сложных, приводит к тому, что при совпадении всех параметров, кроме схемы начисления процентов, будут получе­ны различные результаты. Например, при оценке будущей через два года стоимо­сти FV для текущей, равной 1000 руб., при ставке 10% годовых при применении схемы простого процента получим FV = 1200 руб., а по схеме сложного процента: FV = 1210 руб. Это говорит о том, что схема начисления процента меняет средне­годовой доход при равенстве исходных сумм и ставок начисления процентов. Сле­довательно, ставки 10%, соответствующие разным схемам начисления процентов, нельзя напрямую сопоставлять друг с другом. Необходимо различать процентные ставки, соответствующие разным схемам начисления процентов.

Предположим, что в течение года т раз производятся выплаты процентных пла­тежей, тогда можно сказать, что в году имеется т периодов процентных выплат. Обозначим: р — процентную ставку за произвольный период времени, R — годо­вую процентную ставку, соответствующую схеме простого процента, без учета ре­инвестирования (номинальная ставка), г — годовую процентную ставку, соответ­ствующую схеме сложного процента, с учетом реинвестирования (эффективная ставка). Найдем соотношение между этими тремя процентными ставками.

Номинальную процентную ставку по ставке за произвольный период (р) можно определить из следующего очевидного соотношения:

PV(l + Я) = PV(l + рот);

R = рт.

Эффективную процентную ставку (г) по ставке за произвольный период (р) можно определить из следующего очевидного соотношения:

PV(1 + г) = PV(1 + р)^т; г = (1 + р)^т - 1.

Отсюда можем получить связь между номинальной и эффективной ставками:

г = (1 + —)^т -1.

т

Очевидно, что номинальная и эффективная процентные ставки при прочих равных условиях не равны между собой.

Определим стоимость денежного потока как сумму приведенных к моменту оценки входящих в него денежных выплат. Обозначим С_{ выплату, соответствую­щую концу £-го периода, PV — текущую стоимость денежного потока, ¥У — будущую стоимость денежного потока, г — процентную ставку по альтернативному вкладу, Т — количество периодов выплат по денежному потоку. Тогда текущая стоимость денежного потока в соответствии с данным выше определением равна:

__т, С₁ С₂ С, С_т . ГУ РУ =------------- ¹----- ^------------ ²-------- +... +------ +... + — ^ .

(1 + г) (1 + г )² (1 + г)^- (1 + г)^т-1 (1 + г)^т

Рассчитанная таким образом стоимость денежного потока является его теоре­тической стоимостью. Можно определить теоретическую стоимость денежного потока как его стоимость, рассчитанную в соответствии с некоторой теоретиче­ской моделью. Если финансовый инструмент, создающий подобный денежный поток, торгуется на реальном рынке, то его рыночная стоимость, скорее всего, будет отличаться от теоретической. В этом случае будем иметь дело с рыночной стоимостью денежного потока.

Обозначим рыночную стоимость денежного потока Р. Предположим теперь, что все параметры денежного потока известны. Исключение составляет только процентная ставка г. Предположим также, что финансовый инструмент, создаю­щий этот денежный поток, был приобретен по реальной рыночной стоимости Р. В этом случае последнее выражение может быть переписано:

^С1 ^С2 ^С, ^СТ-1 ГУ Р =------------- — +-------------- + ... +------------ + ... + ^-тт + Т .

(1 + г) (1 + г )² (1 + г)^- (1 + г)^т-1 (1 + г)^т

В полученном выражении ставка г является неизвестной величиной. Решив по­лученное уравнение относительно г, получим значение показателя, называемого

внутренней нормой доходности денежного потока. Можно вербально определить внутреннюю норму доходности денежного потока как среднегодовую доходность, которую получит инвестор, купив финансовый инструмент по рыночной стоимо­сти и удерживая его в течение Т периодов.

Некоторые финансовые инструменты могут порождать денежные потоки особого вида. Определим аннуитет (ренту) как регулярные, обычно ежегодные, и равные по величине платежи. Обозначим С величину денежной выплаты за один временной период. Такой денежный поток описывается моделью постоянного ограниченного аннуитета (ренты). А его стоимость — следующим соотношением:

(1 + r)^T - 1 (1 + r )^T • r

Здесь коэффициент

(1 + r )^T - 1 (1 + r )^T • r

является коэффициентом дисконтирования аннуитета.

Модель постоянного ограниченного аннуитета может быть обобщена на случай, если регулярные выплаты поступают в бесконечном временном периоде. В этом случае имеем дело с моделью постоянного вечного аннуитета (ренты). Стоимость постоянного вечного аннуитета может быть оценена на основе предыдущей моде­ли при условии, что время Т стремится к бесконечности:

pv = Hm с •⁽¹ + ^r)T_T -¹ = C.

^T(1 + r)' • r r

Модель ограниченного растущего аннуитета (ренты) предполагает, что денеж­ный поток С в ограниченном периоде времени Т ежегодно увеличивается с посто­янным темпом g. Стоимость такого денежного потока равна:

Если прирост с постоянным темпом происходит в бесконечности, то такой денежный поток называется бесконечным растущим аннуитетом (рентой). Стои­мость такого денежного потока может быть получена на основе предыдущей мо­дели:

Данное соотношение справедливо при выполнении условия: g < г. Рассмотренный выше теоретический инструментарий является минимально необходимым при изучении моделей оценки стоимости реальных финансовых инструментов. Дальнейшее рассмотрение проведем по группам финансовых ин-

струментов, которые можно описать с помощью моделей определенных, неопре­деленных и обусловленных денежных потоков.