21.3. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОЛЬЦА

Продолжив дробить срок жизни опциона и дальше, мы в конце концов пришли бы к ситуации, изображенной на рисунке 21.4, где возможные значения цены акций по исте­чении срока опциона образуют непрерывный ряд. Рисунок 21.4 являет собою пример логарифмически нормального распределения, которое часто применяется для обобщен­ного описания возможных изменений цены акций¹⁰. Логарифмически нормальное рас­пределение имеет немало удобных и практичных свойств. Скажем, оно согласуется с тем фактом, что цена акций никогда не может снизиться более, чем на 100%, а вот вырасти может гораздо больше, чем на 100%, пусть даже вероятность этого очень невелика.

Дробление срока жизни опциона на бесконечно малые интервалы не подрывает принципы стоимостной оценки опционов. Мы по-прежнему можем воспроизвести оп­цион «колл» сочетанием займа с инвестициями в акции, правда, нам придется непре­рывно корректировать уровень финансового рычага с течением времени. Вычисление стоимости опциона при бесконечном множестве подпериодов может показаться безна­дежной задачей. К счастью, Блэк и Шольц вывели формулу, которая позволяет сотво­рить это чудо. Выглядит формула довольно неказисто, но при ближайшем рассмотре­нии вы, несомненно, признаете ее на редкость элегантной и полезной:

Стоимость «колла» = [дельта х цена акции] — [банковский заем]

т т т

X р] - х РУ(ЕХ)],

ЩР/РУ(ЕХ)] Ол/7 = - аЛ;

N((1) — функция плотности нормального распределения вероятностей¹¹;

¹⁰ Когда мы впервые наблюдали распределение возможных изменений цены акций в главе 8, мы исходили из того, что эти изменения подчиняются закону нормального распределения. Как мы тогда отмечали, это вполне допустимое приближение для очень коротких интервалов времени. Но изменения цены на более длительных интервалах лучше описывает логарифмически нормальное распределение.

¹¹ Иначе говоря, N(