Показатель доходности ценных бумаг

(3.26)

где г = 1,2,...п; п - число измерений (наблюдений) доходности ценных бумаг.

Если известно прогнозное распределение вероятностей величин до­ходности то будущее (прогнозное) значение доходности ценной бумаги может быть определено как математическое ожидание (среднее значение, центр распределения) доходности:

п

г=М(г) = ^щ£г_гр,(г}), (3.27)

1=1

_где р. _(г.) _ вероятность такого события на рынке, при котором реализует­ся доходность данной ценной бумаги, равная величине.

Поясним данную процедуру следующим примером, в котором для оп­ределенности в качестве ценных бумаг выбраны акции. Данные для расче­та и его результаты приведены в табл. 3.2.

^г Таблица 3.2

Рассчитаем ожидаемую доходность акций компании А: г_А = г, ■ Р_Х + г₂ • р₂ + г₃ • _Ръ = 0% ■ 0,25 + 10% • 0,5 + 20% ■ 0,25 = 5% + 5% = 10%_;

То же повторим для акций В: г_в = -5% • 0,1 +10% -0,6 + 15% • 0,3 = -0,5% + 6% + 4,5% = 10%.

Для наглядности отобразим результаты расчетов на диаграммах (рис. 3 и рис. 3.8).

Рис. 3.7. Связь доходности и вероятности акции компании А

P(r) 0,6-

0,4-

0,2.

о 5 ю -Г5 г~%

Рис. 3.8. Связь доходности и вероятности акции компании В

Ожидаемая доходность акций обеих компаний оказалась одинаковой и равной 10%.

Приведенный пример в значительной мере является условным, по­скольку вариантов значений доходности акций на реальном фондовом рынке бесконечное число (в частности, отметим, что цена акции может из­меняться, принимать новые значения). Следствием этого является то, что столбчатая диаграмма трансформируется в непрерывную кривую - кри­вую плотности распределения вероятностей значений доходности (рис. 3.9). Плотность вероятности значений доходности есть функция:

Здесь вероятность, доходность.

Из этой формулы следует, что размерность плотности вероятности есть отношение размерностей вероятности и доходности

Г, % Рис. 3.9. Характер функции плотности распределения вероятностей значений доходности ценных бумаг компаний АиВ

На рис. 3.9 условно (качественно) показаны плотности распределения вероятностей значений доходности ценных бумаг компаний An В. Основ­ное свойство функции f(r) заключается в том, что соответствующая пло-

щадь под кривой р (г) в координатах (г, ср) равна вероятности достоверно­го события, т.е. единице:

ОС

р= = 1.

При переходе от дискретного распределения к непрерывному изменя­ется и вид формулы для расчета средней доходности ценный бумаг. Мате­матическое ожидание величины доходности в этом случае есть.

(3.28)

^: = М(г) = \г(р{г)йг.

Видно что в рассматриваемом случае (рис. 3.9) ценные бумаги В имеют более узкое и высокое распределение, чем ценные бумаги А. Это говорит о том что возможные значения величин доходности ценных бумаг В «тес­нее! расположены к среднему значению, их разброс меньше, т.е. действи­тельное (реальное, рыночное) значение доходности этих бумаг будет бли­же к средневзвешенному значению доходности. Таким образом, очевидно, что риск вложения в ценные бумаги В меньше, чем соответствующий риск вложения в ценные бумаги А, плотность распределения которых шире.

Обычно принимают, что для активного развитого фондового рынка справедливо так называемое нормальное (гауссово) распределение плот­ности вероятности доходности:

—\ 2 Л (г-г)