2.3. Сложные ставки ссудных процентов

Пусть

/_с — относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

к^ _с — коэффициент наращения в случае сложных процен­тов;

] — номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по про­шествии первого года наращенная сумма, в соответствии с фор­мулой (1.7), составит

= 1 + /_с).

Еще через год это выражение применяется уже к сумме 8₂ = 8₁(1 + /_с) = Р(1 + /_с)²

и так далее. Очевидно, что по прошествии п лет наращенная сум­ма составит

5=/>(1 + /_с)" (3.1)

Множитель наращения к^ _с соответственно будет равен

*н.с = О +'с)^/1- (3.2)

При начислении простых процентов он составил бы по форму­лам (1.5) и (1.7):

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов на­ращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу можно наглядно представить с помощью гра­фиков, изображенных на рис. 1. Здесь, как и на всех последую­щих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной — тысячи рублей. Первоначальная сумма составля­ет 1000 руб., процентная ставка — 30% годовых. Верхняя линия соответствует наращению денежной массы в случае применения

сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненциального роста (чем больше л, тем круче кривая уходит вверх), в то время как нижняя линия (соответствующая случаю простых процентов) является прямой с очень небольшим углом наклона.

Поэтому, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в на­шем распоряжении более или менее значительный период време­ни. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже че­рез небольшое (в зависимости от разницы в величине процент­ных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке (см. рис. 1). Подробно этот во­прос рассматривается в разделе 2.5.

14000 г 12000 | 10000 т 8000 + 6000 4000

Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множи­тель наращения определяют по выражению:

(3.3)

где п=п_а + п_ъ;

п_а — целое число лет;

п_ь — оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степе­ни. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начис­ления процентов этот способ является приблизительным, и по­грешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значе­

ния входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим при п_ъ = 1/2, как раз в том случае, когда очень удобно применить формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах есть опера­ция извлечения квадратного корня (т.

Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы де­нежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказать­ся вовсе. В конце раздела будет приведен пример, позволяющий оценить разницу в результатах при двух способах вычисления множителя наращения по формулам (3.2) и (3.3).

Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть /i|, л₂, ..., n_N — продолжительность интервалов начис­ления в годах; /₁₅ /₂, iff — годовые ставки процентов, соответст­вующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (1.7), составит

S_{ = P( 1+ n_{i_{),

В конце второго интервала:

S₂ = Р (1 +п_х ij)(1 + n₂i₂)

и т. д.

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце все­го периода начисления составит

S_N=pf[(l + n_ri_r). (3.4)

Г=1

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.4) принимает вид:

S_N = Р( 1 +ni)^N. (3.5)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номи­нальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой опреде­ляется величина ставки процентов, применяемая на каждом ин­тервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной про­центной ставке j эта величина считается равной j/m .

Если срок ссуды составляет п лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:

S_mn=P(l + j/m)^mn, (3.6)

где mn — общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (тп — целое число интервалов начисления, / — часть ин­тервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:

S= Р( 1 +j/rn)^mn{ 1 4- lj/m). (3.7)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (3.1), а для оставшейся части — формула про­стых процентов (1.7).

В России в настоящее время наиболее распространенным яв­ляется начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодич­ностью, называются дискретными.

В мировой практике часто применяется также непрерывное на­числение сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а т — к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит сле­дующее выражение:

S = Р lim (1 +j/rn)^mn. (3.8)

Ш—>оо

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

lim fl+—1 =е,

m->оо V т)

где е = 2,71828...

Из этой формулы следует:

lim (1 + j/m)^mn = e^Jn.

m—>оо

Тогда для наращенной суммы получаем

S=PeJⁿ. (3.9)

Здесь

*н.с ⁼ e^Jn ' (3.10)

Значения наращенной суммы S можно вычислять с помощью финансового калькулятора или находя значения и других тре­буемых величин в специальных таблицах.

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов да­ет максимальную величину наращенной суммы при прочих рав­ных условиях (т. е. при одинаковых n,j, Р).

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти.

Так, из формулы (3.1) получаем

Р =---- = (3.11)

Напомним, что, как и в случае простых процентов, определе­ние современной величины суммы 5 называется дисконтирова­нием.

Коэффициент дисконтирования а является величиной, обрат­ной коэффициенту наращения, т. е. к^ _с а — 1.

Формула (3.11), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают лег­ко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денеж­ной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Также из формулы (3.1) имеем

(3.12)

Из формулы (3.6):

] = т\ (3.13)

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям фор­мулы (3.1), получаем

п =------ --- .

1п(1 +/_с)

Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:

_И- ^1П5/Р ■ (3.15)

/и1п(1 + у/т)

Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также находят по таблицам.

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчи­тать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной про­центной ставки.

Правило «72»:

72

п =

'с (Ж)

Правило «69» (более точное):

69 , лк п = - + 0,35.

Здесь, однако, следует иметь в виду, что при выводе этих пра­вил используются математические формулы, дающие верный ре­зультат не для любых значений входящих в них величин. Напри­мер, выражение \/х< х (х > 0) неверно при х < 1.

Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях /_с(%). До /_с(%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, на­пример, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом /_с. При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» — меньше.

В качестве примера найдем срок удвоения капитала при годо­вых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле (3.14) и по правилам «69» и «72».

а) п = 1п 2/1п 1,2 = 3,8 года, или п = 72/20 = 3,6 года, или п = 69/20 + 0,35 = 3,8 года;

б) п = 1п 2/Ь» 2,1 = 0,93 года, или п = 72/110 = 0,65 года, или

п = 69/110 + 0,35 = 0,98 года (разница с точным значени­ем — 18 дней).

Следующие примеры иллюстрируют использование получен­ных формул.

Пример 10

Первоначальная вложенная сумма равна 200 000 руб. Опреде­лить наращенную сумму через пять лет при использовании про­стой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.

Решение

По формуле (1.7) для простых процентных ставок имеем 5 = 200 000 (1 + 5 • 0,28) = 480 000 (руб.).

По формуле (3.1) для сложных процентов:

5= 200 000 (1 + 0,28)⁵ = 687 194,7 (руб.).

По формуле (3.6) для начисления по полугодиям:

5= 200 000 (1 + 0,14)¹⁰ = 741 444,18 (руб.).

Из той же формулы для поквартального начисления: 5 = 200 ООО (1 + 0,07)²⁰ = 773 936,66 (руб.).

По формуле (3.9) для непрерывного начисления: S = 200 ООО е¹'⁴ = 811 ООО (руб.).

Пример 11

Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начис­ления сложных процентов по ставке 25% годовых.

Решение

По формуле (3.3) получаем

5 = 50 000 000 (1 + 0,25)² (1 + 0,125) = 87 890 625 (руб.).

Для второго способа используем формулу (3.1) с нецелым по­казателем степени:

5 = 50 000 000 (1 + 0,25)²'⁵ = 87 346 390 (руб.).

Отчетливо видно расхождение: при использовании приблизи­тельного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 000 руб.

Пример 12

Определить современную (текущую, настоящую, приведенную) величину суммы 100 000 000 руб., выплачиваемую через три года, при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Решение

Воспользуемся формулой (3.11):

Р = 100 000 000/(1 + 0,24)³ = 52 449 386 (руб.).

Пример 13

За какой срок первоначальный капитал в 50 000 000 руб. увели­чится до 200 000 000 руб., если:

а) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 28% годовых;

б) проценты будут начисляться ежеквартально?

Решение

По формулам (3.14) и (3.15) имеем:

а) п = 1п(200 000 000/50 000 000)/1п(1 + 0,28) = 5,6 года;

б) п = 1п(200 000 000/50 000 000)/41п(1 + 0,07) = 5,1 года.

Пример 14

Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за пять лет? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.

Решение

По формулам (3.12) и (3.13) вычисляем:

1_С = ЧЪ- \ = 0,245 = 24,5%; у = 2 (ЦУз - 1) = 0,232 = 23,2%.