2.1. Простые ставки ссудных процентов

Введем следующие обозначения:

/(%) — простая годовая ставка ссудного процента;

і — относительная величина годовой ставки процентов;

1_г — сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

/ — общая сумма процентных денег за весь период на­числения;

Р — величина первоначальной денежной суммы;

5 — наращенная сумма;

к_н — коэффициент наращения;

п — продолжительность периода начисления в годах;

д — продолжительность периода начисления в днях;

К — продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой оперции рассчитывается либо точный, либо обыкно­венный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

вариант I используется точное число дней ссуды, определяе­мое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

вариант 2 берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод используется, когда не требуется большая точ­ность, например, при частичном погашении займа.

Точный процент получают, когда за временную базу берут факти­ческое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Приведенным выше определениям соответствуют формулы:

h р

(1.2)

1 = 1_гп; (1.3)

£=/>+/; (1.4)

*„ = |; (1.5)

п = (1.6)

к

Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), по­лучаем основную формулу для определения наращенной суммы[6]:

5=/»(1+1и), (1.7)

или

5=/>(1+А/).

А

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы £ которая в будущем должна составить заданную величину 5. В этом случае Р называется современной (текущей, настоя­щей , приведенной) величиной суммы 5.

Определение современной величины Р наращенной суммы 5 называется дисконтированием, а определение величины наращен­ной суммы 5 — компаундингом.

В применении к ставке ссудного процента может также встре­титься название математическое дисконтирование, несовмести­мое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут рассмат­риваться в следующем разделе.

Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую опера­ции дисконтирования:

Р = (1.9)

1 + т

Преобразуя формулу (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее выра­жения на эквивалентные и выражая одни величины через дру­

гие), получаем еще несколько формул для определения неизвест­ных величин в различных случаях:

«= (1.Ю)

Рг

д = (1.11)

| = —; (1.12) Рд

/ = (1.13)

Рд

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах на­числения Я}, и₂> •••» ⁿN используются ставки процентов /|, /₂,..., то по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит

Л = К

в конце второго интервала:

/2 ⁼ Р 1%2 /[7]2

и Т. Д.

При N интервалах начисления наращенная сумма составит

( N

1 + Е ^пг Ч / = 1

Для множителя наращения, следовательно, имеем

ной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.

Решение

1. В случае точных процентов берем д = 284.

По формуле (1.8) получаем

5= 10 ООО ООО (1 + 284/366 • 0,30) = 12 327 868 (руб.).

2. Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды имеем

5 = 10 ООО ООО (1 + 284/360 0,30) = 12 366 666 (руб.).

3. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды (д = 280) по формуле (1.8) получаем

5 = 10 000 000 (1+280/360 0,30) = 12 333 333 (руб.).

Пример 3

Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год — 30%, а за каждое последующее полу­годие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Решение

По формуле (1.15): ^ = 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 + 0,27 + 0,26 + 0,25) = 1,975.

По формуле (1.14):

5 = 20 000 000 • 1,975 = 39 500 000 (руб.).

Пример 4

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Решение ?

По формуле (1.10) получаем

п = (40 000 000 - 25 000 000)/(25 000 000 • 0,28) = 2,14 года.

Пример 5

Определить простую ставку процентов, при которой первона­чальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000 руб. через год.

Решение

По формуле (1.13) определяем

/ = (30 000 000 - 24 000 000)/(24 000 000 • 1) = 0,25 = 25%.

Пример 6

Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.

Решение

По формуле (1.9) (операция дисконтирования) имеем Р = 40 ООО ООО /(1 + 250/365 • 0,26) = 33 955 857 (руб.).

Из формулы (1.4) получаем

/ = 40 ООО ООО - 33 955 857 = 6 044 143 (руб.).