3.1. КОНЦЕПЦИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ

Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что стои­мость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве которой обычно выступает норма ссудного процента (или процента). Иными словами, в соответствии с этой концепцией одна и та же сумма денег в разные периоды времени имеет разную стоимость; эта стоимость в настоящее время всегда выше, чем в любом будущем периоде.

Концепция стоимости денег во времени играет основополагающую роль в практике финансовых вычислений. Она предопределяет необ­ходимость учета фактора времени в процессе осуществления любых долгосрочных финансовых операций путем оценки и сравнения стои­мости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли, амортизационных отчислений, основ­ной суммы долга и т.д.

В процессе сравнения стоимости денежных средств при плани­ровании их потоков в продолжительном периоде времени использует­ся два основных понятия — будущая стоимость денег или их настоящая стоимость.

Будущая стоимость денег представляет собой сумму инвестиро­ванных в настоящий момент средств, в которую они превратятся че­рез определенный период времени с учетом определенной ставки про­цента (процентной ставки). Определение будущей стоимости денег характеризует процесс наращения их стоимости (компаундинг), ко­торый состоит в присоединении к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов.

Настоящая стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных средств, приведенной с учетом определенной ставки процента к настоящему периоду времени. Определение настоящей стоимости де­нег характеризует процесс дисконтирования их стоимости, который представляет операцию, обратную наращению, осуществляемую путем изъятия из будущей стоимости соответствующей суммы процентов (дис­контной суммы или „дисконта").

При проведении финансовых вычислений, связанных с оценкой стоимости денег во времени, процессы наращения или дисконтирова­ния стоимости могут осуществляться как по простым, так и по слож­ным процентам.

Простой процент представляет собой сумму дохода, начисляе­мого к основной сумме денежного капитала в каждом интервале об­щего периода его использования, по которой дальнейшие ее перерас­четы не осуществляются. Начисление простого процента применяется, как правило, при краткосрочных финансовых операциях.

Сложный процент представляет собой сумму дохода, начисляемого в каждом интервале общего периода его использования, которая не выплачивается, а присоединяется к основной сумме денежного интер­вала и в последующем платежном интервале сама приносит доход. На­числение сложного процента применяется, как правило, при долгосроч­ных финансовых операциях (инвестировании, кредитовании и т.п.).

Расчеты суммы процента могут осуществляться как в начале, так и в конце каждого интервала общего периода времени. В соответствии с этим, методы начисления процента разделяют на предварительный и последующий.

Предварительный метод начисления процента (метод пренуме- рандо или антисипативный метод) характеризует способ расчета пла­тежей, при котором начисление процента осуществляется в начале каждого интервала.

Последующий метод начисления процента (метод постнумеран- до или декурсивный метод) характеризует способ платежей, при кото­ром начисление процента осуществляется в конце каждого интервала.

Платежи, связанные с выплатой суммы процента и возвратом основной суммы долга представляют собой один из видов денежного потока, подразделяемый на дискретный и непрерывный.

Дискретный денежный поток характеризует поток платежей на вложенный денежный капитал, который имеет четко детерминирован­ный период начисления процентов и конечный срок возврата основ­ной его суммы.

Непрерывный денежный поток характеризует поток платежей на вложенный денежный капитал, период начисления процентов по кото­рому не ограничен, а соответственно не определен и конечный срок возврата основной его суммы.

Основным инструментом оценки стоимости денег во времени выступает процентная ставка (ставка процента) — удельный показа­тель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивает­ся сумма процента в расчете на единицу денежного капитала. Обычно процентная ставка характеризует соотношение годовой суммы процента и суммы предоставленного (заимствованного) денежного капитала (выраженное в десятичной дроби или в процентах). Это понятие отли­чается многообразием конкретных его видов, используемых в практике финансовых вычислений. Процентная ставка, используемая в процессе наращения или дисконтирования стоимости денежных средств (оценки их будущей и настоящей стоимости), классифицируется по следующим ос­новным признакам (рис. 3.1).

КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

Рисунок 3.1.

1. По использованию в процессе форм оценки стоимости денег во времени различают ставку наращения и ставку дисконтирования (дисконтную ставку).

Ставка наращения представляет собой процентную ставку, по которой осуществляется процесс наращения стоимости денежных средств (компаундинг), т.е. определяется их будущая стоимость.

Ставка дисконтирования (дисконтная ставка) представляет собой процентную ставку, по которой осуществляется процесс дисконтирова­ния стоимости денежных средств, т.е. определяется их настоящая сто­имость.

2. По стабильности уровня используемой процентной ставки в рамках периода начисления выделяют фиксированную и плавающую процентные ставки.

фиксированная ставка характеризуется неизменным ее уровнем на протяжении всех интервалов общего периода начисления.

Плавающая (или переменная) процентная ставка характеризу­ется регулярно пересматриваемым ее уровнем по соглашению сторон в разрезе отдельных интервалов общего периода начислений. Такой пересмотр обусловливается изменением средней нормы процента на финансовом рынке (или в отдельных его сегментах), изменением тем­па инфляции и другими условиями.

3. По обеспечению начисления определенной годовой суммы процента различают периодическую и эффективную процентные ставки.

Периодическая ставка процента при обеспечении определен­ной годовой суммы процента может варьировать как по уровню, так и по продолжительности отдельных интервалов на протяжении годового периода платежей.

Эффективная ставка процента (или ставка сравнения) харак­теризует среднегодовой ее уровень, определяемый отношением годо­вой суммы процента, начисленного по периодическим его ставкам, к основной сумме капитала.

4. По условиям формирования различают базовую и договорную процентные ставки.

Базовая процентная ставка характеризуется определенным ис­ходным ее уровнем в качестве первоначальной основы последующей ее конкретизации кредитором (заемщиком) в зависимости от условий осуществления соответствующей финансовой операции.

Договорная процентная ставка характеризует конкретизирован­ный ее уровень, согласованный кредитором и заемщиком и отраженный в соответствующем кредитном (депозитном, инвестиционном) договоре.

Система основных базовых понятий позволяет последовательно рассмотреть методический инструментарий оценки стоимости денег во времени в разрезе наиболее характерных вариантов осуществления та­кой оценки. Этот методический инструментарий дифференцируется в разрезе следующих видов вычислений (рис. 3.2).

Рисунок 3.2. Систематизация основных методических ПОДХОДОВ к оценке стоимости денег во времени.

I. Методический инструментарий оценки стоимости денег по про­стым процентам использует наиболее упрощенную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете суммы простого процента в процессе нараще­ния стоимости (компаундинга) используется следующая формула:

/ = Р х п х /,

где / — сумма процента за обусловленный период времени в це­лом;

Р — первоначальная сумма (стоимость) денежных средств; п — количество интервалов, по которым осуществляется рас­чет процентных платежей, в общем обусловленном пери­оде времени;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае будущая стоимость вклада (5) с учетом начислен­ной суммы процента определяется по формуле:

5 = р + I = р _х (1 + лг). Пример: Необходимо определить сумму простого про­цента за год при следующих условиях: первоначальная сумма вклада — 1000 усл. ден. ед.; процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально —20%.

Подставляя эти значения в формулу, получим сумму про­цента:

I = ЮООх 4 х 0,2 = 800усл. ден. ед.; будущая стоимость вклада в этом случае составит: Б = 1000 + 800 = 1800 усл. ден. ед.

Множитель (1 + /н) называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно быть больше единицы.

Процесс наращения суммы вклада во времени по простым про­центам может быть представлен графически (рис. 3.3).

2. При расчете суммы простого процента в процессе дискон­тирования стоимости (т.е. суммы дисконта) используется следующая формула:

0 = 5-5 х -1—,

1 + т

где 0 — сумма дисконта (рассчитанная по простым процентам) за обусловленный период времени в целом; 5 — стоимость денежных средств;

п — количество интервалов, по которым осуществляется рас­чет процентных платежей, в общем обусловленном пери­оде времени;

/ — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае настоящая стоимость денежных средств (Р) с уче­том рассчитанной суммы дисконта определяется по следующим фор-

1 + л/'

Пример: Необходимо определить сумму дисконта по про­стоту проценту за год при следующих условиях: конечная сумма вклада определена в размере 1000 усл. ден. ед.; дисконтная ставка составляет 20% в квартал.

Подставляя эти значения в формулу расчета суммы дис­конта, получим:

0 = 1000-1000----------------- -------------- = 444 усл. ден. ед.

Рисунок 3.3. График наращения суммы денежных средств по простым процентам (при процентной ставке 20%).

1 + 4x0,2

Соответственно настоящая стоимость вклада, необ­ходимого для получения через год 1000 уся. ден. единиц, должна составить:

Р = 1000 - 444 = 556 усл. ден. ед.

1

Используемый в обеих случаях множитель

дисконтным множителем (коэффициентом) суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

Процесс дисконтирования суммы денежных средств может быть представлен графически (рис. 3.4).

Сумма денежных средств (усл. ден. ед.)

II. Методический инструментарий оценки стоимости денег по слож­ным процентам использует более обширную и более усложненную сис­тему расчетных алгоритмов.

1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по сложным процентам исполь­зуется следующая формула:

5_с = Рж (1 + 0". где Б_с — будущая стоимость вклада (денежных средств) при его на­ращении по сложным процентам;

Р — первоначальная сумма вклада;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма процента (/_с) в этом случае определяется по формуле:

1с ⁼ Р •

Пример: Необходимо определить будущую стоимость Вклада и сумму сложного процента за Весь период инвести­рования при следующих условиях: первоначальная стоимость вклада— 1000 усл. ден. ед.; процентная ставка, используемая при расчете суммы слож­ного процента, установлена в размере 20% в квартал; общий период инвестирования — один год.

Подставляя эти показатели в вышеприведенные форму­лы, получим:

Будущая стоимость вклада =

= 1000 х (1 + 0,2)⁴ = 2074 усл. ден. ед. Сумма процента =

= 2074 - 1000 = 1074 усл. ден. ед.

Графически процесс наращения стоимости вклада по сложным процентам представлен на рисунке 3.5.

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным процентам используется сле­дующая формула:

Р_С---------

(1-0"

где Р_с — первоначальная сумма вклада;

5 — будущая стоимость вклада при его наращении, обуслов­ленная условиями инвестирования; / — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма дисконта (О_с) в этом случае определяет­ся по формуле:

0_С = 5-Р_С1

Пример: необходимо определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным процентам за год при следующих условиях:

будущая стоимость денежных средств определена в разме­ре 1000 усл. ден. ед.;

используемая для дисконтирования ставка сложного процен­та составляет 20% в квартал.

Подставляя эти значения в формулы, получим: Настоящая стоимость =

1000

⁼ TÏTnrf ^{= 482уСА 9ен}-^ед-

Сумма дисконта = < ¹

= 1000 - 482 = 518 усл. ден. ед. Графически процесс дисконтирования денежных средств по слож­ным процентам представлен на рис. 3.6.

3. При определении средней процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула:

Го

где / — средняя процентная ставка, используемая в расчетах сто­имости денежных средств по сложным процентам, выра­женная десятичной дробью;

S_c — будущая стоимость денежных средств;

Р_с — настоящая стоимость денежных средств; п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: необходимо определить годовую ставку доход­ности облигации при следующих условиях: номинал облигации, подлежащий погашению через три года, составляет 1000 усл. ден. eg.;

цена, по которой облигация реализуется В момент ее эмис­сии, составляет 600 усл. ден. ед.

Подставляя эти значения в формулу, получим: годовая ставка доходности =

4. Длительность общего периода платежей, выраженная коли­чеством его интервалов, в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам определяется путем логарифмирования по сле­дующей формуле:

log (S_c/P_c) log (1+/) '

где 5_С — будущая стоимость денежных средств; Р_с — настоящая стоимость денежных средств; / — используемая процентная ставка, выраженная десятичной

дробью.

5. Определение эффективной процентной ставки в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам осуществляется по формуле:

где /_э — эффективная среднегодовая процентная стака при нараще­нии стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью; і — периодическая процентная ставка, используемая при на­ращении стоимости денежных средств по сложным процен­там, выраженная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж по периодической процентной ставке на протяжении года.

Пример: необходимо определить эффективную средне­годовую процентную ставку при следующих условиях: денежная сумма 1000 усл. ден. eg. помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года;

годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осу­ществляется начисление процента, составляет 10% (0,1).

Подставляя эти значения в формулу, получим:

Результаты расчетов показывают, что условия поме­щения денежной суммы сроком на 2 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов, равнозначны услови­ям начисления этих процентов один раз в sog под 10,38% годовых (10,38% составляет размер эффективной или срав­нимой процентной ставки).

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интер­валов выплат в течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более выгодным инвестировать деньги под мень­шую ставку процента, но с большим числом интервалов в течение пре­дусмотренного периода платежа.

Пример: Перед инвестором стоит задача разместить 100 усл. ден. ед. на депозитный вклад сроком на один год. Один банк предлагает инвестору выплачивать доход по сложным процентам в размере 23% в квартал; второй — в размере 30% один раз в четыре месяца; третий — в размере 45% два раза в воду; четвертый — в размере 100% один раз в году.

Для тозо, чтобы определить, какой вариант инвести­рования лучше, построим следующую таблицу:

Сравнение вариантов показывает, что наиболее эффек­тивным является 1-й вариант (выплата дохода 8 размере 23% один раз в квартал).

Используемые в процессе оценки стоимости денег множители

' 1 ⁴

называются соответственно множителем нараще-

ния и множителем дисконтирования суммы сложных процентов. Они положены в основу специальных таблиц финансовых вычислений, с по­мощью которых при заданных размерах ставки процента и количества платежных интервалов можно легко вычислить настоящую или будущую стоимость денежных средств по сложным процентам.

III. Методический инструментарий оценки стоимости денег при ан­нуитете связан с использованием наиболее сложных алгоритмов и определением метода начисления процента — предварительным (пре- нумерандо) или последующим (постнумерандо).

1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:

=/?х^{(1 + /}|"~¹х(1 + 0,

где ЗАр_Гд — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на ус­ловиях предварительных платежей (пренумерандо); /? — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятич­ной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;

интервал платежей по аннуитету составляет один год (пла­тежи вносятся в начале года);

сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) со­ставляет 1000 усл. ден. ед.;

используемая для наращения стоимости процентная ставка составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, полу­чим:

будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях предварительных платежей (пренумерандо), равна:

(1+01)⁵-1

1000 у.——-------------------- _х (1 +0,1) = 6716 усл. ден. единиц.

2.При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществ­ляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), при­меняется следующая формула:

⁼ К ^х ~—^------------- 1

где ЭАрой — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на ус­ловиях последующих платежей (постнумерандо); Я — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятич­ной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени. Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих пла­тежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыду­щем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную формулу, полу­чим:

будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях последующих платежей (постнумерандо), равна:

(1+0 1)⁵- 1 1000х- ^ = 6105 усл. ден. единиц.

Сопоставление результатов расчета по двум примерам показывает, что будущая стоимость аннуитета, осуществ­ляемого на условиях предварительных платежей, существен­но превышает будущую стоимость аннуитета, осуществляе­мого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае плательщику обеспечена гораздо большая сумма дохода.

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществ­ляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), ис­пользуется следующая формула:

РАрп,=Пх-^х(1 + 0,

где РАр_Гд — настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);

R — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

/ — используемая процентная (дисконтная) ставка, выражен­ная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени. Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;

интервал платежей по аннуитету составляет один год (при внесении платежей в начале года);

сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) со­ставляет 1000 усл. ден. eg.;

используемая для дисконтирования стоимости ставка про­цента (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим: настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях предварительных платежей (пренумерандо) равна:

1-(1+0,1)'⁵

1000 х------ —-------- х (1 +0,1) = 4169 усл. ден. единиц.

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществ­ляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), приме­няется следующая формула:

РАпт* = R х — . —,

г

где РАрой — настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо); Я — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

/ — используемая процентная (дисконтная) ставка, выражен­ная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих пла­тежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыду­щем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим: настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на ус­ловиях последующих платежей (постнумерандо), равна: 1000х-—^ = 3790 усл. ден. единиц.

Сопоставление результатов расчета по двум последним примерам показывает, что настоящая стоимость аннуите­та, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования плательщику га­рантирована гораздо большая сумма дохода в настоящей стоимости.

5. При расчете размера отдельного платежа при заданной бу­дущей стоимости аннуитета используется следующая формула:

Я = ЗАппы х------------ —,

^ (1 + /У-1

где /? — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета

при предопределенной будущей его стоимости); ЗАроа — будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на усло­виях последующих платежей);

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым намечается осуществ­лять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:

Я ⁼ РАмы х —---------

^ 1-(1+0"

где Я — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета

при известной текущей его стоимости); РАрой — настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на ус­ловиях последующих платежей);

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым намечается осуществ­лять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

В процессе расчета аннуитета возможно использование упрощен­ных формул, основу которых составляет только член аннуитета (раз­мер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.

В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:

где ЭАро^ — будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на ус­ловиях последующих платежей);

Я — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

1а — множитель наращения стоимости аннуитета, определя­емый по специальным таблицам, с учетом принятой про­центной ставки и количества интервалов в периоде пла­тежей.

Соответственно, формула для определения настоящей стоимо­сти аннуитета имеет вид:

РАрот = Я ^х Оа ,

где РА^ — настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

Я — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

— дисконтный множитель аннуитета, определяемый по специ­альным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконт­ной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.

Использование стандартных множителей (коэффициентов) на­ращения и дисконтирования стоимости существенно ускоряет и облег­чает процесс оценки стоимости денег во времени.