7.1. Определение современной ценности финансовой ренты. Функция

Рассмотрим ренту, состоящую из п платежей, каждый из которых ра­вен Д и делается в конце каждого периода начисления процентов. Если за каждый период начисляются сложные проценты по ставке г, то на­ращенная сумма этой финансовой ренты, согласно формуле (6.2), равна 5 = Дв_п;г. Современная ценность ренты равна современной ценности ее наращенной суммы, следовательно, современная ценность ренты, соглас­но формуле (3.3), равна:

РУ = 5(1 + 1)~^п = Кз_п;г( 1 + 1)~^п = К⁽-^{1 + г)}"~¹(1 + ъ)~^п =

Применяя обозначение РУ для современной ценности денег в момент 0 (см. формулу (5.1)), будем обозначать современную ценность ренты, со­стоящей из п членов, равных R, символом РУп), а если из контекста значения R и п ясны, то просто РУ.

В финансовых вычислениях для величины, на которую умножается R в последней формуле, принято использовать следующее обозначение:

а_Щг =----------- -.------ • (7.1)

Тогда современная ценность ренты, состоящей из n периодических плате­жей, равных R каждый, на которые начисляются сложные проценты по ставке i за каждый период, выразится формулой:

PV (R, n) = PV = Ra_{n; i} (7.2)

Раньше для выполнения вычислений, использующих функцию a_n; i, применялись специальные таблицы этой функции для различных значе­ний n и i. Следуя этой традиции, мы привели таблицу значений этой функции для некоторых значений ее аргументов в Таблице 3 Приложе­ния Б.

Покажем, что формулу (7.2) можно вывести, не используя форму­лу (6.3). Изобразим ренту, состоящую из n платежей, на оси времени:

RRRRR J I I I I I________

0 12 3 n—1 n номера платежей

По формуле (3.3) имеем: ценность первого платежа в момент 0 равна К(1 + г)^-1; ценность второго платежа в момент 0 равна К(1 + г)^-2 и т.д.; ценность п-го, последнего платежа, в момент 0 равна К(1 + г)^-п. Суммар­ная ценность всех платежей в момент 0 (современная ценность ренты) равна:

РУ(К, п) = К(1 + г)^-1 + К(1 + г)^-2 + ... + К(1 + г)^-п.

Теперь применим формулу суммы первых п членов геометрической про­грессии с первым членом = К(1 + г)^-1 и знаменателем д = (1 + г)^-1. Выполнив некоторые преобразования, получим формулу (7.2):

PV(Л,») = "■