3.1. Определение сложных процентов

Говорят, что на сумму Р начисляется г сложных процентов в течение п процентных периодов, если в конце каждого периода к сумме, имевшей­ся на начало этого периода, прибавляется г% от этой суммы.

В конце первого периода к исходной сумме Р прибавляется сумма Рг. Наращенная сумма будет равна:

5 = Р + Рг = Р (1 + г).

В конце второго периода к имеющейся сумме Р(1 + г) прибавляется сумма Р (1 + г) г . Наращенная сумма 52 составит:

52 = Р (1 + г) + Р (1 + г)г = Р (1 + г)².

Аналогично, к концу третьего периода будем иметь наращенную сумму

5з = Р (1 + г)³,

и к концу п-го периода наращенная сумма 5_п будет равна:

= Р(1 + г)^п .

Множитель (1 + г)^п называется множителем наращения. При выво­де последней формулы мы считали число периодов п целым. В практике финансовых расчетов часто приходится вычислять суммы, наращенные

за нецелое число периодов начисления. Например, если рассматривается годовая ставка процентов, то есть период равен одному году, то выве­денная формула позволяет нам вычислить только суммы, наращенные за целое число лет. Однако имеется необходимость знать наращенную сумму, например, за полгода (п = 0.5) или за 3 года 2 месяца (п = 19/6) и т. п. По определению для произвольного (может быть, и нецелого) числа периодов Ь наращенная сумма при начислении сложных процентов вычисляется по формуле:

& = Р(1 + і)'. (3.1)

Составлены таблицы множителя наращения для различных значений і и Ь (см.

Как и в случае простых процентов, так и в случае сложных процентов, финансовое учреждение может указывать процентную ставку на любой период начисления. Для сравнения следует привести такую ставку к го­довой. Например, если Сбербанк дает г_т% сложных в месяц, то исходная сумма Р за год превратится в наращенную сумму Б = Р(1 + г_т)¹². Соот­ветствующая годовая ставка і определяется равенством:

Р(1+ г_т)¹² = Р (1 + і) ,

из которого определяем значение і:

і = (1 + гт)¹² - 1.

Например, если г_т = 6%, применяя эту формулу, получаем:

і = (1 + 0.06)¹² - 1 = 101.2%

Сравнивая с результатом, приведенным в п. 2.1 для простых процентов, мы видим, что при одинаковой месячной ставке процента годовая ставка сложных процентов больше, чем годовая ставка простых процентов.

Пример 3.1. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20 000 руб. Какая сумма будет на его счете: а) через 5 лет, б) через 6 лет и три месяца?

Решение. а) Применяя формулу (3.1), находим наращенную сумму Б при Р = 20 000, і = 0.08, Ь = 5:

Б = 20 000(1 + 0.08)⁵ = 20 000 х 1.469328 = 29 386.56 руб.

Заметим, что если бы банк выплачивал 8% простых, то через 5 лет на счете была бы меньшая сумма:

5 = 20 000(1 + 0.08 х 5) = 20 000 х 1.4 = 28 000 руб.

б) По формуле (3.1) находим наращенную сумму 5 при Р = 20 000, і = 0.08, і = 6.25:

Б = 20 000(1 + 0.08)⁶'²⁵ = 20 0 00 х 1.617702 = 32 354.04 руб. ■

Как уже было сказано, в практике финансовых расчетов ставку слож­ных процентов, как правило, указывают на период, равный году, но начис­ление сложных процентов может производиться каждое полугодие, квар­тал, месяц или даже день. При этом за каждый такой период, равный 1/т части года, начисляются сложные проценты по ставке г/т сложных процентов.

г \

Б = Р[ 1 + -

т

где £ —длительность промежутка времени, в течение которого начисляют­ся сложные проценты (£ измеряется в годах). Например, в случае одного квартала £ = 0.25.

Чтобы показать, что при годовой ставке сложных процентов г вычис­ление сложных процентов производится т раз в году по ставке г/т эту ставку обозначают А_т. Тогда последняя формула принимает вид:

/ А т

Б = Р 1 + ^ . (3.2)

т

Пример 3.2. Решим пример 3.1(а), если А = 8% и если = 8%. Решение. Применяем формулу (3.2) при А4 = 8%:

/ 0 08 \ ^5х4

5 = 20 000 ( 1 + — ) = 20 000 х 1.4859474 = 29 718.95 руб.

Применяем формулу (3.2) при ^2 = 8%:

008 \ ^5x12 ~12

Мы видим, что при увеличении числа периодов начисления процентов при той же годовой процентной ставке наращенная сумма, полученная за одно и то же время, увеличивается.

.