2.1. Определение простых процентов

При движении денег важную роль играет фактор времени: использу­емые в течение некоторого времени деньги должны приносить владельцу денег определенный доход, зависящий от длительности их использования. Величину этого дохода измеряют в процентах от суммы используемых де­нег. Практикуются два способа расчета процентов: начисление простых процентов и начисление сложных процентов. В этом разделе мы рассмот­рим вопросы, связанные с начислением простых процентов. Если в тексте говорится об г%, то в формулах буквой г обозначается запись г% в виде десятичной дроби. Так, 9% от суммы Р равны Р х0.09.

Если сумма Р увеличивается на г%, то полученная в результате сум­ма Б называется наращенной суммой и вычисляется по формуле¹:

5 = Р + Рг = Р(1 + г).

При этом величина Р называется исходной суммой, а Рг — суммой на­численных процентов. В дореволюционной русской литературе последняя величина называлась интересом или интересами — хотелось бы этот тер­мин возродить.

Пример 2.1. Сбербанк выплачивает по пенсионным вкладам 17% го­довых (простых). Какая сумма будет через год на счету пенсионера, по­ложившего на сберкнижку 1 200 руб. ?

^ХВ этой и всех формулах далее, имея, скажем, что г = 10%, мы интерпретируем выражение (1 + г) не как (1 + 10), а как (1 + 0.1).

Решение. Через год на счету пенсионера будет сумма:

5 = Р(1 + г) = 1 200(1 + 0.17) = 1 404 руб. ■

Если имеется несколько периодов времени, в каждый из которых ис­ходная сумма Р увеличивается на г%, то говорят, что на сумму Р начисля­ются простые проценты. Наращенная сумма Б, полученная в результате начисления п раз по г% на сумму Р, выражается формулой:

Б = Р + Ргп или Б = Р (1 + гп) .

Формула, выражающая наращенную сумму при начислении простых процентов, получена при условии, что число п периодов начисления про­центов — целое. По определению мы введем такую же формулу для любо­го положительного (не обязательно целого) числа периодов, которое мы теперь будем обозначать буквой і:

Б = Р(1 + гі) . (2.1)

Необходимость начисления процентов за нецелое число периодов встре­чается в практике финансовых расчетов часто. Например, если банк вы­плачивает по депозитам г% годовых (простых), то есть период начисления процентов равен одному году, то на депозит, пролежавший в банке 3 го­да и 3 месяца, банк должен начислить проценты за 3.25 периода. Какова должна быть в этом случае сумма начисленных процентов? Так как про­стые проценты начисляются на одну и ту же исходную сумму Р, то есте­ственно считать сумму начисленных процентов пропорциональной числу периодов, за которые эти проценты начисляются, то есть равной Ргі, и в том случае, когда число і не является целым. Тогда наращенная сумма равна Р + Ргі = Р (1 + гі).

Это рассуждение не доказывает формулу (2.1), которую мы ввели по определению, но показывает естественность этой формулы для практики финансовых расчетов.

Заметим, что при заключении финансовых контрактов обычно ого­варивается наименьшая часть периода начисления процентов: например, каждый полный день (1/360 часть периода начисления, равного году) или каждая полная неделя (1/52 часть периода начисления, равного году). В этих случаях і в формуле (2.1) принимает лишь значения соответственно

к/360 или к/52 (к — целое). Например, если депозит пролежал в банке 2 года 16 дней, то в первом случае следует взять:

_ 16 736 ¹ ~ ⁺ 360 ~ 360 '

а во втором случае:

_ 2 _ 106 ⁺ 52 ^_ ~52~ '

На практике может использоваться любой период начисления процен­тов. Однако для сравнения различных условий кредитования финансисты приводят ставку процента за произвольный период к годовой. Например, если Сбербанк дает г_т% простых в месяц, то это соответствует годовой ставке г = 12 х г_т%. Например, при г_т = 6%, имеем г = 12 х 6 = 72%.