5.2. ИЗМЕНЕНИЕ УСЛОВИЙ РЕНТЫ

Наиболее простой случай изменения условий ренты — преобра­зование немедленной ренты в отсроченную, когда внесение первого износа переносится на более поздний срок 0 лет, месяцев). При этом общая продолжительность ренты может оставаться прежней, т.е. п₀ = или же она может меняться, т.е. п_{.

Соответственно члены ренты могут быть равны между собой (Я₀ - /?,) или же не равны.

В случае если немедленная рента заменяется на отложенную при сохранении сроков ренты (п₀ = я,) и равенстве современных величин

(Л₀= /1,), расчет величины рентного платежа производится следую­щим образом:

А='Я.-а А. — Я, ■ а . • V, (5.1)

О О //; /' 1 I н\ I ' ⁴ '

где Л₀ и /?, — соответственно годовые рентные платежи первона­чальной и измененной ренты;

а_)г. — коэффициент приведения первоначальной годовой ренты;

V — дисконтный множитель за период I, на который отложена рента. Так как по условию конверсии А_д = • а_п. ₍.• V', То

а„._гУ' V* -

При начислении процентов т раз в году эта формула примет вид: , \t-rn

(5.3)

Наиболее общим случаем изменения условий ренты является не только преобразование немедленной ренты в отложенную, но и из­менение срока ренты, т.е. п₀ *я_г Для расчета величины рентного пла­тежа новой ренты, отсроченной на период 1 и с новым сроком я,, ис­пользуется формула:

О + 'У, (5.4)

J

где а ,иа — коэффициенты приведения первоначальной

"0^Л "l'¹

и измененной рент.

Пример 5.2. Фирма по торговле недвижимостью продает объект стои­мостью 1,50 млн руб. При этом предлагаются следующие варианты опла­ты: а) единовременная оплата; б) оплата в течение двух лет равными пла­тежами, вносимыми в конце года под 9% годовых; в) оплата с отсрочкой платежа в один год, остальные условия аналогичны предыдущему вари­анту; г) оплата с отсрочкой в один год, но срок ренты возрастает до трех лет. Определить финансовые последствия для трех последних вариантов.

Вариант «б». Параметры ренты:

Л,= 1,50 млн руб.; я = 2 года; /= 9%; Л₀ = ?; S₀=?

^ _{= =} 150 _8527Q3 a_n.j а_г. ₉ 1,759111

S_n = R_n. , = 0,852703 • 2,09 = 1,782149 млн руб.

Вариант «в». Параметры ренты:

А₁ = 1,50 млн руб.; п = 2; /=9%; /= 1 год; Я₁ = ?

Л, = Л₀ • (1 + /)' = 0,852703 • 1,09 = 0,929446 млн руб.

= Л, • = 0,929446 • 2,09 = 1,942542 млн руб. Вариант «г». Параметры ренты:

А₂= 1,50 млн руб.; л=3; /=9%; /= 1 год; Л₂ = ?; 5"₂ = ?

Л₂ = 0,852703 • — ■ (1 + 0,09) = 1 759111

= 0,852703 • ₂'₅₃₎₂₉₅ 1,09 = 0,645914 млн руб.

$₂= Л₂ = 0,645914-3,2781 = 2,117371 млн руб.

В последнем варианте значение рентного платежа снизилось, но значительно возрастает стоимость приобретаемого объекта.

Возможен вариант, когда по условиям конверсии члены ренты должны остаться неизменными, т.е. Л₀ = Л,, тогда искомой величи­ной становится срок ренты п_у

Из равенства /?₀ • ..= /?,• а_п.. • V находим:

-1811- л, = —

1₈(1 + 0

В большинстве случаев величина п_{ не является целым числом.

Поэтому для обеспечения эквивалентности финансовых результатов

разницу, образовавшуюся в связи с тем, что рента выплачивается за

целое число лет, погашают в начале первого периода.

Пример 5.3. Имеется соглашение о выплате немедленной годовой ренты сроком 4 года. Величина годового платежа 2,0 млн руб., процентная ставка 10%. По новому соглашению оплата производится с отсрочкой в два года при сохранении предыдущего размера годового платежа. Определить срок новой ренты.

Параметры новой ренты: Я= Я. = 2,0 млн руб.; /=10%; /=2года; п = ?

1_ё{1-[1-1,г⁴]-1,1²} _,_ё0;

181,1 181,1 (-0,210137)

= 5,0767 года.

0,0413927

Принимаем продолжительность новой ренты 5 лет. Тогда совре­менная величина первоначальной ренты будет равна:

А₀ = Л₀ • а₄,₁₀ = 2,0 • 3,169865 = 6,33973 млн руб.

Современная величина отложенной ренты составляет:

А₁ = Я ■ а₅.₁₀ • К² - 2,0 ■ 3,790787 ■ 1,1~² = 6,26576 млн руб.

Разница

А₀-А₁ = 6,33973 - 6,26576 = 0,07397 млн руб.

должна быть погашена в начале первого периода заменяемой ренты.

В случае когда при конверсии ренты не требуется сохранения ра­венства рентных платежей, т.е. Я₀ * Я_{, величину нового срока ренты определяют по формулам, приведенным в табл. 4.1.

ИЗМЕНЕНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ И СРОЧНОСТИ РЕНТЫ

При замене обычной годовой ренты на новую с изменением сро­ка ренты необходимо определить размер нового рентного лратежа. При этом исходят из равенства Я. • а ., = Я. • а .,.

V / 1 /I | , *

Тогда

^к\ -^/

где р₀ и р_{ — характеристики срочности двух рент.

Используя это равенство, находят значение рентного платежа но­вой ренты:

Ро- (1 + /)^л -1 Р\ ■ 0 + 0^л -1

(1 + /)^л -1

(5.7)

(1 + /)^/;° -1

При замене годовой ренты (р₀- 1) на /^-срочную приведенное выше выражение преобразуется в следующее:

Л, =-

ОБйДИЙ СЛУЧАЙ ЗАМЕНЫ РЕНТЫ

В случае замены не одного, а нескольких параметров ренты исхо­дят из равенства:

-т, -я,

1+^

V ^т\)

т 1

А.

где А_д — современная величина заменяемой ренты. Член новой ренты определяется по формуле:

1-1 +

Л, =Ло :-

щ)

Пример 5.4. Предлагается к продаже объект недвижимости стоимостью 2,0 млн руб. Продавец выставил условия продажи: стоимость объекта по­гашается ежегодными равными платежами, вносимыми в конце года, срок погашения 4 года, годовая процентная ставка 6%, проценты начисляются один раз в год. Покупатель предложил свои условия: платежи произво­дятся два раза в год, проценты также начисляются дважды в год, годовая процентная ставка 8%, срок выплаты 6 лет. Определить величину рент­ного платежа, предложенного продавцом и покупателем.

Рентный платеж, предложенный продавцом:

«о = ■— = —=т1£гг=°'^{577183 млн} РУ^б- а_п. / а_{4; 6} 3,4651

Годовой платеж, предложенный покупателем:

1-(1 + 0,08)" ^{2 6} „_п 0,6029

= 2,0: ' =0,53076 млн руб. 0,16

2-

Разовый платеж по условиям покупателя: -=0,26538 млн руб.