Постановка задачи об оптимальном портфеле

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля - это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р', то (Р-Р')/Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. т.е. доходность портфеля -это доходность на единицу его стоимости.

Пусть хі - доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг /-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу.

Пусть 4 - доходность в процентах годовых ценных бумаг /-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля Яр. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1+^р, с другой - стоимость бумаг /-го вида увеличится с х до Хі+4хі, так что суммарная стоимость портфеля будет

; :: ■

Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (15.1).

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть m - средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. тл=М[с/\\ - математическое ожидание доходности и П = К

где Vu вариация или дисперсия

/-й доходности.

Будем называть m r соответственно эффективностью и риском i-й ценной бумаги. Через Vj обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i-го и j-го видов (или корреляционный момент).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть

M[dP] = x\M[d\]+...+xnM[dn\ = £ ximl,

обозначим его через тр. Дисперсия доходности портфеля есть

Так же как и для ценных бумаг, назовем тр эффективностью портфеля, а величину

ар = ^т\аР\

риском портфеля гр. Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией Кр.

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариации.

Пример 1.

Портфель наполовину (по стоимости) состоит из бумаг первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг второго вида с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля?

Решение. Оба термина - доходность и эффективность - специально

упомянуты вместе.

Ответ: 0,5*14+0,5*8=11% годовых.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг, сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением ЛПР к эффективности и риску - см. дополнение к ч. 2).

Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оценивается по двум характеристикам - эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1-й портфель с эффективностью е1 и риском г1 доминирует 2-й с е2, г2 если е1>е2 и г1hspace=0 vspace=0 align=center>

Конечно, в силу особенностей работы эмитентов ценных бумаг каждая конкретная ценная бумага испытывает свои колебания эффективности, иногда совершенно не связанные с общерыночными. Эти колебания обусловливают так называемый индивидуальный, или несистематический, риск ценной бумаги.

Диверсификация портфеля может почти полностью устранить влияние на риск всего портфеля индивидуального ириска отдельных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск всего портфеля.

Рассмотрим более конкретно упрощенные примеры влияния корреляции разных ценных бумаг. Предположим сначала, что ценные бумаги различных видов ведут себя независимо, они некоррелированы, т.е. Ру=0, если Щ. Тогда

Предположим далее, что деньги вложены равными долями, т.е. лу=1/п для всех 1=1,..., п. Тогда

средняя ожидаемая эффективность портфеля, и риск портфеля равен

Пусть у2=шах Уи, тогда гру, то и гр>у. Следовательно, при полной прямой корреляции диверсификация портфеля не дает никакого эффекта - риск портфеля равен среднему арифметическому рисков составляющих его ценных бумаг и не стремится к нулю при росте числа видов ценных бумаг.

Положительная корреляция между эффективностями двух ценных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора действует на обе бумаги в одну и ту же сторону. Диверсификация портфеля путем покупки обеих бумаг бесполезна - риск портфеля от этого не уменьшится.

Теперь рассмотрим ситуацию полной обратной корреляции, т.е. когда £у=-1, если Щ. Для понимания сути дела достаточно рассмотреть портфель, состоящий всего из двух видов ценных бумаг (п=2). Тогда

Кр=0-12Х12+О22Х22 - 2о-1Х1^2Х2=(^1Х1 - 02*2)2

и если х2=х1о1/о2, то Кр=0.

Таким образом, при полной обратной корреляции возможно такое распределение вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует.

Полная обратная корреляция довольно редкое явление и обычно она очевидна.

15.2.