4.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

А = Яа Щі = Я (1 - (1 + і) -^п)/і ,

которая может рассматриваться как уравнение относительно процентной ставки і .

(А/Я)(1 + і) ^п+¹ - (1 + А/Я)(1 + і) ^п + 1 = 0

Такое уравнение относится к классу нелинейных алгебраических уравнений и его решение в общем случае не выражается в явной аналитической форме, так что его решение может быть осуществлено только численными методами.

Вместе с тем, используя метод линейной интерполяции, можно достаточно просто находить приближенные решения этого уравнения. Продемонстрируем это на примерах.

ПРИМЕР 1 Петров вкладывал в сберегательный банк по 25 тыс рб в конце каждого месяца в течение 5 лет. В настоящее время у него на счете накопилось 1625 тыс рб. С какой номинальной нормой процента для т = 12 начисляет проценты сберегательный банк ?

РЕШЕНИЕ Обозначим через і месячную норму процента и через у₁₂ - соответствующую номинальную норму. Вклады по 25000 рб образуют аннуитет с итоговой суммой 1625000 рб как показано на нижеследующей временной диаграмме

0 1 2 3 ... 58 59 60

25т 25т 25т ... 25т 25т 25т

1625т

Уравнение аннуитета имеет вид

25 ^ 601 і = 1625 так что ^ і = 65

На основе таблицы для функции составных платежей ^ -|_і составим следующую табличку

я—, 65,46611 65,00000 64,64671

6 0 |і

і 7/24 % ? 1/24 %

712 7/2 % ? 3 %

Составляем пропорцию линейной интерполяции

7₁₂ - 0,03 65,00000 - 64,64671 0,35329 0,035- 0,03 " 65,46671 - 64,64671 " 0,81940 '

Откуда получаем у₁₂ = 0.03216 .

ПРИМЕР 2 Фирма продает товар стоимостью 100 млн рб по следующему платежному расписанию : 10 млн рб сразу и 10 ежемесячных взносов по 9&55 млн рб каждый, первый взнос делается через три месяца.

РЕШЕНИЕ 10 ежемесячных платежей образуют отсроченный аннуитет с текущей стоимостью 90 млн рб на день покупки как показано на временной диаграмме

0 1 2 3 4 ... 11 12

9.55 9.55 ... 9.55 9.55

90

Уравнение аннуитета имеет вид

90 = 9,55 (^ _!г - а 2|г ) так что Я 121 г - я _Г)г = 9,4241 .

Вновь обращаясь к таблицам функций составных платежей, составляем вспомогательную табличку

712 9 % ? 10.5 %

г 3/4 % ? 7/8 %

а _Г2,. - а . 9.4572 9.4241 9.3704

12 \г 2 г

Пропорция линейной интерполяции имеет вид

у₁₂ - 0,09 9,4241 - 9,4572 0,0331 0,105 - 0,09 " 9,3704 - 9,4572 " 0,0868 .

Следовательно, у₁₂ = 0.0957 .

Применяя приближенные методы интерполяции, следует представлять точность этих приближений. Приведем некоторые данные, касающиеся ошибок при определении нормы процента с использованием интерполяции по таблицам функций составных платежей. Когда г получается по таблицам а -|. , результат немного завышается; когда

используются таблицы ^ п\_г , результат немного меньше истинного.

Ошибка зависит сильнее от разности между двумя соседними значениями нормы процента в таблице и гораздо слабее - от величины п . Анализ ошибок для всех значений параметров таблиц показывает, что ошибка редко превосходит величину

(п/10)( разность норм процента ) .

Эта величина для расчета г в примере 1 равна

(60/10)( 0,07/24 - 0,01/4 ) = 0,00000104 .

и для у₁₂ составляет 0,0000125 . Для примера 2 расчет у₁₂ с точностью до шестого знака дает 0,095719 .

УПРАЖНЕНИЯ 4.2

1. Какие ежеквартальные взносы должны делаться в сберегательный банк, выплачивающий _/₄ = 3% , для того, чтобы накопить 50 млн рб за 5 лет?

2. Найти годовые платежи аннуитета, чья итоговая сумма равна 25 млн рб, если срок равен 10 лет и процентная ставка ^ = 5% .

3. Какие одинаковые платежи в конце каждого квартала в течение 20 лет обеспечили бы приобретение дома, который стоит 200 млн рб наличными, если процентная ставка ]₄ = 5% ?

4. Автомобиль стоит 35 млн рб наличными, но может быть куплен за 6 млн рб наличными и остаток в виде ежемесячных платежей в течение 3 лет.