3.6. Общий метод погашения займа

Указанное свойство сначала продемонстрируем на частном случае.

Пусть заем выдан сроком на 2 года. В конце первого года было выплачено в счет оплаты основного долга Д и на весь долг Д которым пользовались в течение года, начисленные проценты 1\ = 1В тоже были выплачены, так что в конце пер­вого года суммарный платеж составил + /7). В конце второго года был выплачен остаток основного долга = Т> — А и про­центы за этот год, равные /А, так что суммарный платеж соста­вил Б — + /(7) — В\). Деньги I); + /Д выплаченные в конце первого года, за второй год выросли до (Д + Ш)( 1 + /). В итоге за оба года было выплачено с учетом процентов, начисленных за платеж в конце первого года, (Д +//))(/ +/) + (!>— Д) (1 + /) = = (1 + /)(Д + /2) + В — Д) = Б (1 + /)², что совпадает с нара­щенной суммой займа за два года.

Докажем теперь рассматриваемое свойство потока погашаю­щих платежей в общем виде. Пусть Д,..., Д, — платежи, идущие на выплату основного долга Д /_ь ..., 1_п — платежи, идущие на выплату процентных денег, начисляемых на остающийся основ­ной долг. Выделим в потоке погашающих платежей две части: по завершающему платежу О_п и процентных выплат по нему:

(1 + 0 "-¹+/о_и (1+/)^и"² +... + ю_п +о_п =

+ ... +1 +D_n =Ю_п (l + i)¹¹-! И +D_n = A,(l + 0-

Для второй части, т.е. для последовательности долговых уп­лат {Z>£, к = 1, — 1} в силу индукции эквивалентная ей на момент (п — 1) наращенная сумма равна (D — 1 + if ~ и в конце п-то года нарастет до величины (D — ДХ 1 + if. Складывая обе наращенные суммы, получим D_n( 1 + i)ⁿ + (D — D_n) (1 + i)ⁿ = = Д1 + i)ⁿ, что совпадает с наращенной величиной займа.

Рассмотренные выше в § 3.1—3.5 методы погашения займа яв­ляются частными случаями только что описанного общего метода.