1.2. Финансовые события и денежные потоки

В финансовой математике, как уже упоминалось, сопоставляются денежные суммы и моменты, или промежутки, времени, к которым они относятся.

Определение 1.1. Пара (?, С), состоящая из момента времени г и значения суммы С, называется мгновенным финансовым событием или событием 1-го рода. Мгновенные события будем называть просто событиями.

Финансовое событие наглядно изображается либо отмеченной точ­кой на временной диаграмме, либо точкой на плоскости время-деньги (см. рис. 1.5).

Финансовое событие может иметь различную интерпретацию. Так, это может быть просто указание стоимости актива в данный момент вре­мени. Но это может быть и взнос (вклад, поступление) на счет или в фонд в некоторый момент ? определенной суммы С. Это может быть также выплата (изъятие) со счета или фонда некоторой определенной суммы в момент времени В первом случае значения С обычно записываются положительными, а во втором случае — отрицательными числами.

Определенные выше события (1-го рода) являются формальным представлением мгновенных финансовых величин. Интервальные фи­нансовые величины представляются событиями 2-го рода.

Определение 1.2. Пара (У, С), где Ус Т — некоторый временной промежуток, а С е М — денежная сумма, называется интервальным событием или событием 2-го рода.

На временной диаграмме интер­вальное событие изображается, как

___ на рис. 1.6.

Хотя мы определили два вида ^ л ² финансовых событий, соответству-

Рис. 1.6 ющие двум типам финансовых ве­

личин, на практике во многих слу­чаях, как, в частности, отмечалось в примере с выплатой дивидендов, можно обойтись событиями 1-го рода.

В простейшем случае величина платежа не меняется, а преобразова­ние заключается в выборе момента т актуализации этого платежа. На практике чаще всего используются два правила актуализации интер­вального платежа (У, С), где У — промежуток с концами 1_Т В первом случае платеж С осуществляется в начале промежутка, т.е. т = t Такая схема актуализации называется авансированием (рис. 1.7а). Во втором случае платеж С осуществляется в конце промежутка, т.е. г = г. Эта схема называется финализацией (рис. 1.7 б).

С С ----------------- 1--- 1---- --------------------------- 1--- 1

а б

Рис. 1.7

Актуализация задает способ преобразования событий 2-го рода в события 1-го рода. Имеется еще один вид связи между такими «разно­родными» событиями, состоящий в преобразовании событий 1-го рода в события 2-го рода. Речь идет об операторе изменения мгновенной величины за некоторый промежуток времени 3 = Если нам

известны два события (г₂, 5₂) (1-го рода), соответствующие

состояниям фондовой величины в моменты /₂, то можно определить событие 2-го рода (/, С), где С= - — изменение вели­

чины ^на промежутке /.

Финансовые потоки. На практике изолированные события рассмат­риваются редко. В большинстве случаев в финансовой сделке участвует не одно, а множество событий.

Определение 1.3. Последовательность

{(»„c₁),(/₂,c_I),...,(t„c,)},«s

финансовых событий называется (дискретным) финансовым или де­нежным потоком 1-го рода и обозначается символом CF(от англ. cash flow).

При п < ос — это конечный (дискретный) финансовый поток. В фи­нансовой литературе рассматривают также и случай п = ?300 соответствует финансовый поток

CF = {(0,1000),(1, -400), (2, -300)}.

Денежный поток наглядно изображается либо последовательнос­тью отмеченных точек на временной шкале (рис.

М

(f₂- °г)

(Ц .С,)

Т

б

Рис. 1.8

Изображения финансовых событий и потоков на временной шкале называют обычно временными диаграммами, а их изображения на плос­кости — графиками.

Естественным образом определяются умножение финансового по­тока на некоторое число и сумма (объединение) двух финансовых потоков. Так, под результатом умножения финансового потока

С/^г = {('„С_|),(г₂,С₂),...,(/_л>С„)} на число а понимается поток

оСТ = {(/раС; ),(/₂,аС₂),... ,(/„,аС„)}.

В свою очередь, результатом суммирования потоков СТ⁷ и СР₂

является поток CF_] + CF₂, состоящий из всех финансовых событий (/^Cf) и , входящих в потоки CFj и CF₂ соответственно, для

которых моменты t^{p и различны, а также событий +С]²⁾)

при t^ = tj. В последнем случае, если в результате сложения сумм имеем, что С^ =0, то событие (Л, 0) можно не включать в резуль-

J J J

тирующий поток.

Моменты времени t_p для которых имеют место ненулевые платежи, назовем критическими момента'ми. Таким образом, если t — критичес­кий момент, то в финансовом событии (л, С) должно выполняться условие С * 0.

Пример 1.1. Для финансовых потоков событий

CF_l = {(0, 100), (2, -200), (3, 400), (5, 100), (6, -300)}

и

CF₂ - {(2, 400), (4, 700), (5, -150), (6, 650), (7, 800)}

найти финансовый поток 2С/, + CF_r

Решение. Прежде всего выпишем поток 2Cfj:

2CF_X = {(0, 200), (2, -400), (3, 800), (5, 200), {6, -600)}. Тогда для потока 2CF_; + CF₂ окончательно ползаем

2CF_] + CF_X = {(0, 200), (3, 800), (4, 700), (5, 50), (6, 50), (7, 800)},

при этом событие (2, 0) опускается, так как моменту времени f = 2 реально никакого финансового значения не приписано.

Заметим, что в финансовой математике дискретный денежный

поток часто описывают не последовательностью _t составляю­

щих этот поток событий, а его денежной или платежной функцией c_CF= C{tу.

определенной на всей временной шкале. При этом функция C(t) ~ 0 во всех точках, кроме критических, в которых она, естественно, совпадает с суммами С , связанными с событиями, т.е.

'0, если t±t_k\

с(/)=

С_к, если t — t_k.

Функции такого рода принято называть финитными (для конечных потоков), поскольку они отличны от нуля лишь в конечном числе точек. Множество всех точек (моментов), в которых характеристичес­кая функция потока отлична от нуля, называется его носителем и обоз­начается виррС/⁷:

С помощью денежных функций легко определяются алгебраичес­кие операции над потоками. Пусть, например, С,(0 и С₂(/) — денежные функции потоков СТ^ и С/^ соответственно. Тогда для потока CF, являющегося суммой

этих потоков, денежная функция С(/) определяется равенством

С(/) = С₁(/) + С₂(/).

Аначогично денежная функция С(0 потока ЛС/\ полученногоумно- жением потока С/⁴ на число Я, есть произведение денежной функции С(0 потока СГна это число:

С(/)=АС(/).

Согласно данному выше определению потока, его события отно­сятся к определенным моментам времени. Рассмотрим упоминавшую­ся выше выплату дивидендов по акциям (или процентов по облигаци­ям). Последовательность ежегодных выплат дивидендов можно также описать денежным потоком. Но дивиденды по своему содержанию являются выплатами за период, например за год. Поэтому с формаль­ной точки зрения следовало бы определить еще один вид потоков, состоящий из платежей за период.

Определение 1.4. Интервальным финансовым потоком или денежным потоком 2-го рода называется последовательность событий 2-го рода

СТ^; = {(У,,С₁),(/₂,С₂),...,(/„,С„)},

где / / — попарно непересекающиеся промежутки времени.

На временной диаграмме (рис. 1.9) приведена графическая иллюст­рация денежного потока 2-го рода.

Рис. 1.9

Определенная выше операция актуализации событий 2-го рода легко переносится и на потоки. Применяя ее к каждому собы­тию, из потока 2-го рода получим поток 1-го рода, т.е. обычный по­ток событий. Хотя в принципе выбор конкретной схемы актуа­лизации (авансирования или фи- нализации) может быть различ­ным для различных событий, на практике обычно используют «единообразную» схему актуали­зации: либо авансирование для всех событий, либо финализация также для всех событий потока

2-го рода.

Таким образом, в первом случае интервальный поток CF превра­тится в авансированный (относительно последовательности промежут­ков J,) поток событий к'

а во втором — финаяизированный поток

Оператор авансирования обозначим через Adv, а оператор финализа- ции через Fin. Тогда

CF^a = Adv{CF)\ CF^f = Fin(CF).

Пример 1.2. Для потока 2-го рода (рис. 1.10) найти соответствующие этому потоку авансированный и финализированный потоки событий. Решение. Авансирование потока СТдает поток

CF" = Adv(Cf) = {( 0,100),( 1,200),( 2,300)}

Его диаграмма приведена на рис. 1.11. Финализация потока CFдает поток

CF^J = Fin[CF) = {( 1,100),( 2,200),( 3,300)},

диаграмма которого показана на рис. 1Л2.

Можно также рассматривать преобразование потоков 1 -го рода в потоки 2-го рода. Один из общих подходов к такому преобразованию будет описан ниже, а здесь рассмотрим преобразование потоков, свя­занное с понятием изменения фондовой величины. Пусть

СТ = {(/_рС,),(/₂,С₂),...,(г„,С„)}

— поток событий, представляющий собой последовательность состоя­ний некоторой фондовой величины. Тогда ему соответствует поток 2-го рода

где J_k = С_к — изменение 5 на проме­

жутке J_k.

Описанные операции чаще всего используются в теории рент, явля­ющихся примерами так называемых регулярных потоков платежей.

Ренты. Регулярные потоки платежей естественным образом появ­ляются во многих финансовых контрактах, сделках и операциях. Вып­лата процентов по облигациям или по вкладу, выплата дивидендов акционерам, выплата пенсий участнику пенсионной схемы — все это примеры регулярных потоков платежей. В понятии регулярности по­тока есть два аспекта: временной и финансовый. Временной аспект связан с регулярностью моментов осуществления платежей, например, платежи осуществляются в конце каждого месяца, квартала или года. Финансовый аспект связан с некоторой закономерностью в размерах самих платежей, например, все платежи одинаковы, платежи монотон­но растут на заданную величину, или увеличиваются в заданное число раз, или, наоборот, уменьшаются и т.п.

Обычно потоки платежей, обладающие регулярностью платежей как по времени, так и по величине, называют рентами. По своему смыслу рентные платежи, как отмечалось выше, являются интерваль­ными величинами, поскольку относятся к периодам, а не моментам времени. Поэтому рента — это регулярный поток платежей второго рода. Выше было показано, как этот поток превращается в обычный поток платежей (поток 1-го рода или поток событий), который также называется рентой. Поскольку ренты играют очень важную роль в финансовом анализе, рассмотрим их более подробно. Начнем с опре­деления.

Определение 1.5. Рентой называется интервальный поток (поток 2-го рода)

с последовательностью смежных промежутков называемых периодами ренты, одинаковой длины:

|/₁| = |/,| = ... = |У„|-А.

Число А называется (числовым) периодом ренты. Концы

і

промежутков

Л =(->/_ü+o

есть предел справа функции S(t) в точке /₀. В этом случае S(t) непрерыв­на справа.

В нашем примере это соответствует состоянию счета в момент t_Qi равному ^600.

Таким образом, во втором варианте состояние счета в момент t_Q «не реагирует» на поступление, а в третьем варианте оно — «завершенное», т.е. то, в котором уже учтено поступление на счет, произошедшее в данный момент времени.

Следует отчетливо понимать, что вопрос о том, «какое состояние на самом деле», бессмыслен. Но, строя математическую модель, необхо­димо дать соответствующее определение состояния.

Здесь и в последующем выбираем третий вариант — завершенное состояние. Если бы выбрали второй вариант, то промежутки в свойстве аддитивности были бы открытыми справа, т.е. имели вид [r_p t) и [t t₃).

Нетто-стоимость потока, как легко видеть, полностью определяет сам поток. В самом деле,

C=NV{CF,\t_kJ_k]).

Таким образом, негго-стоимость является еще одной и, как увидим ниже, более общей формой задания финансовых потоков.

Финансовые или денежные потоки обычно имеют источники, т.е. финансовые средства, ресурсы, запасы, которые порождают эти пото­ки, и приемники или цели, куда эти потоки поступают. Источники и при­емники можно представлять в виде резервуаров, накопителей денежных ресурсов, т.е. с позиции финансовой математики это просто фонды. Те­кущая величина (объем) фонда есть стоимость имеющихся в данный момент в фонде активов. Это — величина 1 -го класса. Денежный поток, связанный с фондом, может менять его величину в течение некоторого промежутка времени. Если положительные значения из потока рассмат­ривать как входной поток, а отрицательные — как выходной, то исходный денежный поток разобьется на два потока: один поступающий (втека­ющий) в фонд, а другой исходящий (вытекающий) из него. Заданный промежуток времени изменение величины фонда в точности равно ал­гебраической сумме платежей потока за этот же промежуток.

Математически этот факт отражается следующим образом. Пусть У₀— начальная величина фонда; V — величина фонда в момент времени Л Тогда для любого потока СГ, связанного с фондом, будет справедливо соотношение

Г>0, (1.1)

которое называется уравнением баланса.

Далее, пусть t_{v^t₁ — произвольные моменты времени и ^ < Тогда из (1.1) с учетом свойства аддитивности нетто-величины потока собы­тий следует, что

V_h=V_lj+NV{CF,{Ъ,t₁}) = V,+NV{CF +

Таким образом, получим соотношение

У_Г1=У_Г (1.2)

которое также называется уравнением бaJ^aнca.

Уравнение (1.2) есть просто выражение закона сохранения. В самом деле, разность К₁~К₁ ^есТь изменение объема фонда за промежуток времени (/ ? ], а объем фонда в этом промежутке изменится ровно настолько, сколько денежных средств поступит (или уйдет) в (из) него. Нетто-величина потока как раз и дает общий баланс поступлений и изъятий фонда.

В качестве примера рассмотрим снова поток

СТ= {(-3, 100), (-1, 200), (I, 300), (2, 400)}.

Считая, что величина фонда в момент времени / = 0 составляет У₀ = :^500, можно найти состояние фонда в любой другой момент времени. Так,

У₁ = У₀ + .-#300 - ;7?500 + .-^300 = .#800; У₃=У_{+ .#400= ,#1200

и т.д.

Приведенные выше определения и вычисления, отражающие зави­симость величины фондов от соответствующих потоков финансовых событий, не учитывают временную стоимость денег. Это чисто балан­совые соотношения. Существуют более сложные соотношения, учиты­вающие и фактор времени в том смысле, о котором говорилось ранее. Так, величина фонда может изменяться не только из-за временных поступлений, но из-за изменения стоимости активов фонда.

Общие финансовые потоки. В заключение параграфа проанализиру­ем финансовые потоки с несколько более общей точки зрения, позво­ляющей ввести обобщенное понятие финансового потока и, в частно­сти, описать так называемые непрерывные потоки, которые играют важную роль в финансовом анализе.

Рассмотренные выше потоки событий (потоки 1-го рода) являются дискретными (или сосредоточенными) потоками, потоки 2-го рода — интервальные потоки, являются распределенными. Между ними имеет­ся двусторонняя связь. Интервальный поток С¥ можно (вообще гово­ря, искусственно) преобразовать в дискретный, а любой дискретный поток (событий) С/⁷ — в интервальный, если некоторым образом подобрать последовательность непересекающихся промежутков /_р/₂,...,/, содержащую все моменты дискретного потока. В этом случае промежутку З_к можно поставить в соответствие интервальный платеж

C_k^NУ(CFJ_k),

являющийся нетто-значением потока С/⁷на промежутке J_k. Эта связь имеет более глубокие корни; она позволяет дать обшее определение финансового потока, включающего как дискретные, так и распреде­ленные, в частности, непрерывные потоки.

Задать финансовый поток общего вида можно с помощью так называемой величины потока — функции, сопоставляющей каждому промежутку J временной шкалы Т значение ИУ) величины потока, соответствующее этому промежутку. Содержательно величина потока для данного промежутка равна общей денежной массе, «перенесен­ной» потоком за данный период времени. Формально это просто некоторая функция промежутков времени. Ее естественно считать адди­тивной в том смысле, что величина потока для промежутка, разбитого на две части, будет равна сумме величин потоков, соответствующих этим частям. Таким образом, можно дать следующее определение.

Определение 1.7. Величиной финансового потока СР называется аддитивная функция У^ промежутков временной шкалы Т, т.е. функ­ция У_сг сопоставляющая каждому промежутку У (любого вида) некото­рое значение У_СТ(/) из денежной шкалы М. Аддитивность У_сг означает, что для любых двух непересекающихся промежутков /, /₂, дающих в сумме промежуток/:

выполняется равенство

ПотокС/⁷, определяемый своей величиной У , назовем общим финансо­вым потоком.

В дальнейшем величину потока будем обозначать как К, если это не будет приводить к недоразумениям.

Определение общего финансового потока весьма похоже на опреде­ление потока 2-го рода, однако в нем нет упоминания о какой-либо заранее заданной последовательности смежных промежутков. Значе­ние величины финансового потока (или объем платежа) сопоставляет­ся любому промежутку.

Введем еще ряд дополнительных определений, связанных с поняти­ем общего финансового потока, которые позволят точнее описать связь этого понятия с ранее изученными потоками.

Как и для дискретных потоков, можно определить операции над общими потоками. Так, говорят о сумме СР — + С?_г двух общих потоков, задаваемых величинами У_х-У_С¥у и У₂ = У_СГ^ соответственно. При этом для каждогопромежутка/величина У(/) = У_сг(/) суммарно­го потока определяется суммой значений К₍(/) и К,(/), т.е.

К(/) = У^) + У₂(/).

Умножение общего потока СГ, задаваемого величиной У— У_С¥, на число Я дает поток АС/⁷, значение величины которого для промежутка/равно АК(/).

Будем говорить, что точка а е Т является особой или критической точкой потока, если для любых достаточно малых промежутков /, содержащих а, имеет место равенство

V(J) = V(a).

Здесь точка а рассматривается как промежуток (отрезок)

/ = [а, а].

Финансовый поток, задаваемый величиной К будем называть диск­ретным, если он имеет дискретное (конечное или бесконечное) множе­ство особых точек а_}, а₂,..., а_п,... таких, что для любого промежутка /, не содержащего ни одной особой'точки, соответствующее значение величины потока Кравно нулю:

V(J) = 0.

В этом случае совокупность особых точек называется носителем общего потока. Совершенно ясно, что дискретный поток с множе­ством особых точек а,,..., а , п