§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широ­ком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостно­го показателя к некоторому, обычно начальному, моменту вре­мени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный, момент времени.)

Величину Р_у найденную с помощью дисконтирования, назы­вают современной стоимостью, или современной величиной (pre­sent value), будущего платежа 5, а иногда — текущей, или капи­тализированной, стоимостью. Современная величина суммы де­нег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учиты­вать такой фактор, как время. Как будет показано далее, боль­шинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два Метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

Математическое дисконтирование. Математическое дискон­тирование представляет собой решение задачи, обратной нара- Щению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при ус­ловии, что на долг начисляются проценты по ставке /? Решив

(2.1) относительно Р, находим

^{p =}

Напомним, что п = t/K — срок ссуды в годах. Установленная таким путем величина Р является современ­ной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь \/(\ + nl) называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю состав­ляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

ПРИМЕР 2.9. Через 180 дней после подписания договора долж­ник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням? Согласно (2.11) находим

зю ооо „_{= 287328>59 руб}_

1 4- ¹⁸⁰ п ^{1 +}

Разность S — Р можно рассматривать не только как процен­ты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до на­ступления срока платежа (date of maturity) по векселю или ино­му платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. поку­пает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его уче­та имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объ­еме, однако ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерче­ский, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уп­лате в конце срока (maturity value). При этом применяется учет­ная ставка d.

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен Бпс1\ ес­ли с1 — годовая учетная ставка, то п измеряется в годах.

/>= 5 - 5)и/= 5(1 - пс1), (2,12)

где п — срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 - ж/). Из формулы (2.12) вытекает, что при п > \/й величина дисконтного множи­теля и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что ли­шено смысла. Например, при й = 20% уже пятилетний срок до- статочен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляет­ся при временной базе К — 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

ПРИМЕР 2.10. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн руб. с уплатой 17.11.2000. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2000 по учетной ставке 20% (АСТ/360). Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сум­ма (без уплаты комиссионных) равна

Р = 1000000(1 - 0,2) = 969444,4 руб.

Дисконт составит 30555,6 руб.

Дополним условия примера. Пусть на всю сумму долга теперь начисляются проценты по ставке простых процентов / = 20,5% го­довых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: опре­делить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия можно представить в одной фор­муле

Р" = Р{ 1 + п/)( 1 - п'сО,

где п — общий срок обязательства, л' — срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере л = 120/360, тогда

Р" = 1 000 000(1 + 0,205)(1 - -Ц- 0,2) = 1 035 690 руб.

2—726

Разумеется, дисконт, как скидка с конечной суммы долга, необязательно определяется через ту или иную процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде фиксированной величины для всего срока. Однако, размер ставки неявно всегда имеется ввиду.

Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, кото­рую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма дол­га. Наращенная сумма в этом случае

^'тЪ-- ^{1Д/ расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современ­ная величина платежа больше нуля.}

ПРИМЕР 2.11. По данным примера 2.2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учет­ной ставке с! = 18%:

1

5 = 1 ООО ООО------- —---------- = 1148105,62 руб.