<<
>>

16.1. Постановка задачи об оптимальном портфеле

На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополни­тельный доход.
Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги ку­пить? Малорисковые ценные бумаги, как правило, и малодоход­ны, высокодоходные, как правило, более рисковые. Экономиче­ская наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса.

Итак, инвестор ищет на финансовом рынке активы, способные удовлетворить его пожелания относительно доходности и риско­ванности. Это — его спрос на рынке.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по раз­личным видам ценных бумаг. Предваряя точные математические постановки, констатируем очевидную общую цель инвестора — вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возмож­ности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называ­ется его портфелем. Стоимость портфеля — это суммарная стои­мость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р\ то (Р' — Р)/Р естествен­но назвать доходностью портфеля в процентах годовых. То есть доходность портфеля — это доходность на единицу его стоимости.

Пусть X/ — доля капитала, потраченная на покупку ценных бу­маг /-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть 4 — доход­ность в процентах годовых ценных бумаг /-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля с1Р. С одной стороны, че­рез год капитал портфеля будет равен 1 + с1Р, с другой — стои­мость бумаг /-го вида увеличится с х до X/ + так что суммар­ная стоимость портфеля будет Xх'" + = 1 + Приравни-

/ / / вая оба выражения для стоимости портфеля, получаем

аб-1)

/

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна ана­логичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доход­ности бумаг и их доли формулой (16.1).

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть т/5 о,- — средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. т1 = М41 — математическое ожи­дание доходности и г/ = ^[У^, где Уц — вариация или дисперсия /­й доходности. Будем называть ть г, соответственно эффективно­стью и риском /-й ценной бумаги. Через ^ обозначим ковариа- цию доходностей ценных бумаг /-го и у-го видов (или корреляци­онный момент К у ).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг слу­чайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Ма­тематическое ожидание доходности портфеля есть Щё^ = х\М{с1\\ +

+ ... + хпМ[(1п] = обозначим его через тр. Дисперсия

/

доходности портфеля есть £>[ф] = Так же, как и для

и

ценных бумаг, назовем тр эффективностью портфеля, а величи­ну ар = \D\dp] риском портфеля Г р. Обычно дисперсия доходно­сти портфеля называется его вариацией Ур.

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эф­фективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариации.

Пример 1. Портфель наполовину (по стоимости) состоит из бумаг первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг второго вида с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля?

Решение. Оба термина — доходность и эффективность — специально упомянуты вместе.

Ответ: 0,5 • 14 + 0,5 • 8 = 11% годовых.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с ди­леммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск помень­

ше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необ­ходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением ЛПР к эффективности и риску — см. дополнение к ч. И).

Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оце­нивается по двум характеристикам — эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1- й портфель с эффективностью е\ и риском Г\ доминирует 2-Й С £?2, Г2, если в\ > е2 И Г\ < г2, и хотя бы одно из этих неравенств стро­гое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по Парето,

такие портфели называют еще эф­фективными. Конечно, инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных портфелях.

Если рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нанести их характеристики — риск гр и эф­фективность тр на плоскость риск—доходность, то типичное % множество эффективных портфе- Рис. 16.1 лей выглядит, как кривая ВАС на

рис. 16.1.

<< | >>
Источник: Малыхин В. И.. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, — 237 с.. 2003

Еще по теме 16.1. Постановка задачи об оптимальном портфеле:

  1. 7. ВЫБОР ЭФФЕКТИВНОГО И ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ
  2. 7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)
  3. 8.1. Цель и задачи управления инвестиционным портфелем
  4. Постановка задачи об оптимальном портфеле
  5. Общая постановка задачи динамического программирования
  6. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ 5.1.1. Постановка задачи и стратегии поиска
  7. 12.3. Выбор состава оптимального портфеля ценных бумаг
  8. 7.2. Формирование оптимального портфеля долевых активов
  9. 16.1. Постановка задачи об оптимальном портфеле
  10. ЧАСТЬ IV. Задача об оптимальном портфеле ценных бумаг