12.3. Монотонные ренты

Арифметические ренты. В арифметической ренте платежи меняются со временем линейно и представляют собой арифметическую прогрессию

где г ~ разность профессии, т.е. величина, на которую изменяются за каждый период платежи ренты.

Рассмотрим срочную стандартную арифметическую ренту. Ее пери­од совпадает с единичным периодом временной шкалы и, следователь­но, критические моменты ренты (концы ее периодов) имеют вид

t_k = к, к = 0, 1,..., п.

Здесь для простоты мы выбрали начало ренты нулевым: /₀ = 0, Тогда закон изменения платежей обыкновенной арифметической ренты будет иметь вид

С_А =/»! + /*, *= 1,2,...,п.

Следует обратить внимание на формулу (12.45) для платежей ренты. Согласно этой формуле, первый платеж ренты

а не р_у Такой вид выражения для общего члена ренты выбран специ­ально, для упрощения вывода формул стоимостей арифметических рент. Конечно, зная настоящий первый платеж ренты С_х и разность прогрессии г, легко найти р_х\

Pi ^{= C} i-r-

Это следует иметь в виду при использовании формул, которые будут получены ниже.

Если разность прогрессии г — положительна, т.е. г > 0, то рента возрастающая, если г — отрицательна, убывающая, если г = 0, то в этом (вырожденном) случае рента постоянная. Формула (12.45) показывает, что общую арифметическую стандартную ренту можно рассматривать как линейную комбинацию двух рент: единичной стандартной ренты А_п и арифметической ренты с платежами

R_k = к, Л =1,2,..., л.

Эту возрастающую арифметическую ренту назовем канонической, или простейшей, и обозначим 1А_л. Здесь первый символ / есть началь­ная буква слова increasing, что значит «возрастающий».

Таким образом, поток платежей СУ⁷произвольной арифметической ренты есть линейная комбинация

CF=_PlA_n + rIA_w (12.46)

двух рент.

Поскольку операторы стоимостей линейные:

/У (Л А„ + г1А„) = А /Г. (А.)+гРУ, (1А„); (12.47)

/>К₀(_ДА_я+г1А„) = ,',РК₀(А„) ₊ /-/'К₀(1А„), (12.48)

то для нахождения стоимостей арифметических рент достаточно уметь находить стоимость канонической ренты 1А_я.

Будущая (накопленная) стоимость стандартной арифметической рен­ты. Начнем с вычисления будущей (накопленной) стоимости ренты 1А_п. Будем считать заданной нормированную процентную ставку /. Если в качестве исходной задана какая-либо другая ставка, например номи­нальная, то сначала необходимо найти эквивалентную ей эффектив­ную ставку, а затем работать с последней. Для заданной нормирован­ной ставки /' накопленная к моменту п стоимость ренты 1А_п имеет вид

^_П(1А_п)-1(1 + /)^п"Ч2-(1 + /)^п"² + ...+^(1 + /)^,,"Ч...+« (12.49) или в сокращенной форме

^„(1А„) = 2>\

к=\

где а = (1 + /) — нормированный коэффициент роста.

Накопленную стоимость канонической арифметической ренты обо­значим или коротко Таким образом,

1*2= ™А 1А„,/).

Величину при заданных параметрах ренты и ставке I можно подсчитать на компьютере или калькуляторе непосредственно по фор­муле (12.49). Мы выведем для нее более простую и компактную форму­лу. С этой целью умножим обе части (12.49) на коэффициент а = 1 + /, а затем вычтем почленно из полученного выражения исходное равен­ство (12.49). Тогда

аЬ^ - = (а^п - а^пЛ) + (2а"^л - 2а"'²) +... + (па - п).

Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые справа, получим

(а-1)= а" + (2а^п-¹ -а^п~') + (Зй""² -2а^п~²)■+ ...(па-(п-1)а)-п

или

(я-1)/^ = а^П+а^п^+... + а-п.

Сумма первых п слагаемых справа есть накопленная стоимость авансированной единичной стандартной ренты:

Таким образом, получаем равенство

и поскольку а — 1 — /, окончательно

-п

(12.50)

Текущая стоимость стандартно» арифметической ренты. Из (12.50) легко получить выражение для текущей стоимости канонической ариф­метической ренты. В самом деле, меняя точку приведения с / = л на I = 0, согласно правилу переноса точки приведения, имеем

як,(1А„)=₀*л:(1А„),

где и — 1/(1 + /) = а~^[ — нормированный коэффициент дисконтирова­ния. Текущую стоимость простейшей (канонической) арифметичес­кой ренты обозначим 1а-,. Таким образом,

-п

лі т і

Применяя еще раз правило переноса точки приведения, но уже к стандартной авансированной единичной ренте А„, получим

п ••

V лч - д-,

т т

и, значит,

с-, -пи*

(12.51)

I

Содержательная интерпретация стоимостей стандартных арифмети­ческих рент. Выражения для стоимостей канонической арифметичес­кой ренты имеют простую содержательную интерпретацию. Для ее формулировки вспомним сначала содержательную интерпретацию формулы

(1+/Г-1

(см. § 12.1).

Перепишем, например, формулу (12.50) в виде

Рассмотрим кредитную сделку, в которой должник занимает в нача­ле каждого периода, т.е. в моменты t = 0, 1,..., /7—1 берет в долг единичную сумму C_t= 1. Эти суммы представляют собой единичную авансированную ренту. Единовременная сумма погашения в момент t = п будет равна накопленной стоимости такой ренты, т.е. левой части равенства (12.52).

Эквивалентная схема выплаты долга состоит в периодической вып­лате процентов и возврате в момент погашения общей суммы долга. Поскольку в начале к-ю периода сумма основного долга будет равна к, то проценты за к-й период составят сумму ki. Таким образом, процент­ные выплаты образуют каноническую возрастающую ренту. Наконец, к моменту / = п общая сумма основного долга равна п, так что правая часть (12.52) дает накопленную стоимость всех погасительных выплат при таком способе погашения долга. Аналогично интерпретируется и формула (12.51) для текущей стоимости канонической ренты.

Текущая стоимость бессрочной стандартной арифметической ренты. Выражение (12.51) позволяет получить формулу текущей стоимости бессрочной возрастающей ренты с помощью предельного перехода

Уй-i = lim la-,.

Поскольку

lim/r/ = 0 и limo-. - \/d,

ТО

т 111

/а = — =_+_ ^ СІІ і і²

Так как

К₀(СТ)=Пт Оъ + г-^Ц— = (12.57)

И ____________ к. пл ш ш * **

V I

Пример 12.19.

С,= 3?500; /-=.#100; / = 0,2. Подставляя эти значения в (12.57), получим

500₊ 100 ⁰ 0,1 0,01 ^ ^}

Убывающие арифметические ренты. В качестве первого примера убывающей срочной ренты рассмотрим так называемую простейшую (каноническую) убывающую ренту ОА_и с платежами вида

С_к — (п + 1) — к, к -1,2,..,, п.

Убывающую ренту БА_л можно представить как частный случай общей арифметической ренты с параметрами С, = л и г = — 1. Тогда, согласно (12.55), накопленная стоимость такой ренты

0$_п=тц—а--- = ------- 1—=!-------------- а-.

«1 / / /

Таким образом, л (1 + / У - я

^ /

В свою очередь, из формулы (12.56) аналогичным образом можно получить выражение для текущей стоимости простейшей убывающей ренты:

л- 0 — отложенной (на срокт) обыкновенной рентой. Таким образом, приве­денное соотношение позволяет единообразно получать формулы для различных вариантов монотонных рент.

Как неоднократно указывалось, в теории рент нет смысла запоми­нать различные формулы для стоимостей, их легко получить, если понимать основные принципы работы с потоками платежей. Изучение арифметических рент закончим примером.

Пример 12.20. Рассмотрим 20-летнюю обыкновенную ренту, состоящую из двух частей. Первая представляет собой 10-летнюю возрастающую ренту с ежегодными платежами в конце каждого года. При этом величина первого платежа равна ^50, а все последующие увеличиваются ежегодно на :#20. Вторая часть исходной ренты представ­ляет собой 10-летнюю убывающую ренту с первым платежом в конце 11-го года, равным .#210, а все последующие уменьшаются на 3?20. Ставка ренты равна 8% годовых, начисляемых ежеквартально. Найти накопленную и текущую стоимости ренты.

Решение.

'1+М5Т- 1=0,0824.

Исходную ренту можно рассматривать как сумму немедленной (возрастающей) и от­ложенной (убывающей) рент. Для вычисления стоимостей составной ренты поступим следующим образом. Выберем сначала в качестве момента приведения конец 10-го года, т.е. I = 10. Этот момент как раз разделяет ренту на две части: левую — возрастающую и правую —- убывающую. Текущая стоимость ^ левой (первой) части относительно 7 = 10 есть просто накопленная стоимость возрастающей 10-летней обыкновенной арифмети­ческой ренты с первым платежом, равным и разностью — .#20. Поскольку

(1 + 0,0824)'° -1 0,0824

Л*⁴ = 50^ +20^{у ш} ' ' = 1862,59р?).

Текущая стоимость /*²⁾ относительно г = 10 правой (второй) части ренты есть текущая стоимость обыкновенной (убывающей) арифметической ренты с первым платежом :#210 и разностью — 3?20. Поскольку

^=^'«=6,637, Р²⁾ =210^ - 20^— = 882,29(3?).

Текущая стоимость всей ренты относительно 7 = 10 будет равна сумме полученных стоимостей

= 2744,88(.#).

Теперь для нахождения накопленной стоимости всей ренты достаточно привести У₁₀ к (= 20. Следовательно,

^ую = КЛ^{1 +} М24) = 6060,81(,#).

А для того чтобы найти текущую относительно (7=0) стоимость всей ренты, необходимо привести К_]0 к / = 0. Таким образом, дисконтируя, получим

-ю

К) = Ко {1 + 824) = 1243,13(3?).

Геометрические ренты. В геометрических рентах последовательность платежей представляет собой геометрическую прогрессию:

С_к+]=С_кЯ, Л =1,2,..., л, (12.60)

где д —- знаменатель прогрессии, указывающий, во сколько раз за период ренты изменяется величина платежа. В этом случае платежи ренты изменяются по показательному закону

= & ~ 1, 2,п. (12.61)

Если д > 1, то рента — возрастающая, д < 1 — убывающая, д — 1 — постоянная.

Изучение геометрических рент начнем со стандартной обыкновен­ной (немедленной) срочной ренты, критические моменты которой имеют вид

Г_к = к, *=1,2,...,л. (12.62)

Пусть задана нормированная ставка /. Накопленная (будущая) к мо­менту 1 = п стоимость ренты