11.4. ЦЕНЫ И ДОХОДНОСТИ

а) Какую цену А, или Р на единицу номинала, следует заплатить инвестору за акцию с чистой доходностью 1 годовых?

б) При условии, что инвестор заплатил цену А, или Р на единицу номинала, какой чистый доход он будет получать за год?

Чтобы ответить на вопрос а), мы положим А равной настоящей стоимости процентных и капитальных платежей при процентной ставке 1 годовых минус любые налоги, выплачиваемые инвестором.

А = (настоящая стоимость чистых процентных

платежей при процентной ставке 1 годовых) + (7)

+ (настоящая стоимость чистых платежей капитала при процентной ставке 1 годовых)

Ценой за единицу номинала является, конечно, Р = А/Ы , где N является количество номиналов акции, к которой относятся платежи.

Чтобы ответить на вопрос б), мы положим А в равенстве (7) равной покупной цене и решим получающееся уравнение относительно чистой (нетто) доходности 1 . Доходность, котируемая в прессе, для акций с фиксированным доходом часто является брутто годовой доходностью номинала, конвертируемой по полугодиям. Если инвестор продает свою

акцию до выкупа, или если он подвергается налогообложению, его фактическая доходность в общем случае будет отличаться от той, которая котируется в прессе.

Доходность актива иногда называется доходностью до выкупа или выкупной доходностью, чтобы отличать ее от постоянной (или текущей) доходности, которая определяется как В/Р , отношение купонной ставки к цене за единицу номинала акции.

ПРИМЕР 1 Определенная акция с фиксированным доходом, выпущенная коммерческой компанией, была выкуплена по номиналу 1 октября 1997. Акция порождает процент 6% годовых, выплачиваемый по полугодиям 1 апреля и 1 октября.

а) Какая цена в процентах должна быть предложена за эту акцию 1 августа 1975, чтобы гарантировать доход 5% годовых для инвестора, освобожденного от уплаты налогов?

б) Какую годовую доходность этой акции предлагать инвестору, освобожденному от уплаты налогов, который покупает ее 1 августа 1975 за 117 % ?

РЕШЕНИЕ

а) В этом примере мы имеем Я = 1, N = 100, С = 100, В = 0,06 и р = 2.

А = настоящая стоимость 5% процентных платежей + настоящая стоимость 5% капитальных платежей =

3 + 6а И + 100v 22|

б) Теперь мы решим уравнение стоимости

3 + 6а И + 100v 22|

относительно процентной ставки I . В части а) правая часть уравнения рассчитывалась при I = 5% и равнялась 116,19 , так что доходность будет несколько ниже, чем 5% годовых. Последующие вычисления с применением интерполяции дают I & 4,94 % годовых.

Замечание Можно было бы работать также с полугодовыми периодами; соответствующее уравнение стоимости тогда имело бы вид

3 + За-г + 100v ⁴⁴

44|

которое имеет приближенное решение г' ~ 0,0244, так что эффективная доходность за год равна г - (1,0244) - 1 или 4,94 % как и ранее.

Когда решают уравнение стоимости при помощи интерполяции (чтобы найти доходность), удобно иметь грубое представление о порядке величины требуемого решения.

Рассмотрим акцию, которая будет выкупаться через п лет по выкупной цене Я за единицу номинала. Предположим, что акция порождает проценты, выплачиваемые ежегодно просрочкой при купонной ставке О годовых, и что инвестор, который подвержен подоходному налогу по ставке t₁ покупает акцию по цене Р за единицу номинала. Что можно сказать относительно величины г , чистой годовой доходности инвестора?

Взамен платежа Р инвестор получает чистый процент каждый год, равный О(1 - t₁) , и выручку при выкупе Я . Значит, его чистая доходность г является такой процентной ставке, для которой

Р = О(1 - Ь) ац + Яv ^п (8)

Если Я = Р , тогда очевидно, что . = ^О(¹ - ^)

Р

Если Я > Р , то имеется прирост при выкупе и поэтому

г > ОЫ.

Р

В этом случае этот прирост равен Я - Р . Если инвестор должен получать этот прирост равными взносами каждый год в течение п лет, а не отдельной суммой после п лет, он будет иметь некоторое преимущество. В этом случае каждый год он получал бы О(1 - t₁) + (Я - Р)/п как доход (и Р как выручка при выкупе), так что его чистый годовой доход был бы [О(1 - + (Я - Р)/п]/Р . Это превышает г , поэтому

0(1 -Ч) 0(1 -tl) + (Я-Р)/п

Р Р '

Таким образом, во всех случаях I лежит между 0(1 - t₁)/Р и [0(1 - t₁) + + (Я - Р)/п]/Р .

ПРИМЕР 2 Акция порождает проценты при ставке 7,5 % годовых, выплачиваемых просрочкой, и является выкупаемой по номиналу через 20 лет. Предполагая, что все проценты, полагающиеся в настоящее время, не будут получены покупателем, найти чистую годовую доходность для инвестора, подверженного подоходному налогу 33 1/3 % , который покупает 80% этой акции ?

РЕШЕНИЕ Заметим, что так как чистые годовые процентные платежи равны 5 млн руб на издержки 80 млн руб (т.е. 6,25 %) и акция выкупается за 100 млн руб, чистая доходность будет очевидно превышать 6,25 % годовых. Прибыль при выкупе равна 20 ьлн руб на 100 млн руб номинала. Если эта прибыль выплачивается равными годовыми взносами (каждый суммой 1 млн руб) выплата 80 млн руб обеспечивала бы чистый доход 6 млн руб в каждом году, или 7,5 % . Это было бы более привлекательной инвестицией, чем имеющаяся в наличии. Чистый годовой доход, таким образом, меньше, чем 7,5 % . Мы имеем купонную ставку 0 = 0,075, цену, выплачиваемую за единицу номинала, Р = 0,8, выкупную цену за единицу номинала Я = 1, ставку подоходного налога t₁ = 1/3 , и срок до выкупа п = 20. Уравнение стоимости имеет вид

Р = 0(1 - t₁)а ц + Яу ^п при ставке /

т. е.

0,8 = 0,05a ^ + v ²⁰ .

Сделанные выше замечания показывают, что i лежит между 0,0625 и 0,075. Когда i = 0,065 , правая часть последнего уравнения равна 0,8347, а когда i = 0,07 , она равна 0,7881 . Путем интерполяции мы оцениваем i как 0,0687 или 6,87 % . (На самом деле, чистая годовая доходность в процентах с точностью до четырех десятичных знаков равна 6,8686. Таким образом, метод интерполяции дает достаточно точный результат в этом случае.)

Приближенное значение процентной ставки из уравнения (8) может быть получено следующим образом. Пусть g = D/R , так что g(1 - t₁) является чистым годовым процентом на единицу выкупной цены.

Р = g(1 - t₁)Ra n + Rv ^п = при ставке i

= R [g(1 - h)a(1 - i an)] из которого получаем

g(1 - t1) - i - — = 0 , (9)

a-,

n

где a вычисляется при ставке i и

n ¹

к = (Р - R) / R . (10)

Много различных способов предложено для нахождения приближенного решения уравнения (9). Здесь мы рассмотрим только аппроксимации, основанные на разложении Маклорена функции 1/ a, т.е.

2

_{= +} i ₊"—i_x i² ₊... (11)

a- 1 _{- +} ⁿ n 2n 12n

Отбрасывая в уравнении (9) слагаемые со степенями I выше, чем первая, и подставляя 1/ а в уравнение (9), мы получим

g(1 - ti) - к / n

i⁼ Г \ Л . (12)

1₊f к

\ 2n )

Эта формула является достаточно точной, когда п и / не очень велики. Большей точности обычно можно достичь оставляя в уравнении (11) слагаемые со степенями / до / . Уравнения (9) и (11) тогда дают квадратичное уравнение