Общая характеристика математических методов анализа

Применение математических методов в экономическом ана­лизе деятельности предприятия требует:

системного подхода к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между раз­личными сторонами деятельности предприятий; в этих условиях сам анализ все более приобретает черты системного в кибернети­ческом смысле слова;

разработки комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического ана­лиза;

совершенствования системы экономической информации о работе предприятий;

наличия технических средств (компьютеров и др.), осущест­вляющих хранение, обработку и передачу экономической ин­формации в целях экономического анализа;

организации компьютерного анализа хозяйственной деятель­ности, создания программного обеспечения анализа в системе управления.

Вершиной сегодняшнего дня в развитии систем управления яв­ляются ВРМ-системы (Bisiness Perfomance Management—управле­ние эффективностью бизнеса), т.е. системы, позволяющие свя­зывать воедино все функции управления. В рамках таких систем, например, топ-менеджеры имеют возможность анализировать и корректировать эти цифры и вносить свои новые данные. Систе­мы позволяют им видеть и использовать отчетность смежных подразделений. Далее откорректированные и дополненные на нижнем уровне управления данные афегируются вновь до обще­корпоративного уровня.

Следует отметить, что основой для дальнейшего совершен­ствования ВРМ-систем является их методологическое и методи­ческое аналитическое обеспечение.

Сформулированная математически задача экономического анализа может быть решена одним из разработанных математи­ческих методов На рис. 5.1 представлена примерная схема основ­ных математических методов, по которым ведутся работы, для использования их в анализе хозяйственной деятельности пред­приятий. Признаки классификации экономико-математических методов в схеме в значительной мере условны.

Методы элементарной математики используются в обычных традиционных экономических расчетах при обосновании пот­ребностей в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, балансовых расчетах и т. д. Приемы такого ана­лиза даны в предшествующих главах.

Выделение методов классической высшей математики на схе­ме обусловлено тем, что они применяются не только в рамках других методов, например методов математической статистики и математического профаммирования, но и отдельно. Так, фак­торный анализ изменения многих экономических показателей может быть осуществлен с помощью дифференцирования и ин­тегрирования.

Є61

Широкое распространение в экономическом анализе имеют методы математической статистики и теории вероятностей. Эти ме­тоды применяются в тех случаях, когда изменение анализируе­мых показателей можно представить как случайный процесс. Статистические методы как основное средство изучения массо­вых, повторяющихся явлений играют важную роль в прогнозиро­вании поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы есть практически единственный инструмент исследования. Наиболь­шее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа.

Для изучения одномерных статистических совокупностей ис­пользуются вариационный ряд, законы распределения, выбороч­ный метод. Для изучения многомерных статистических совокуп­ностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный и факторный анализ.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа экономет­рии — экономическая модель, под которой понимается схемати­ческое представление экономического явления или процесса при помощи научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее распространение получил метод анализа «затраты — выпуск». Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации — главные особенности матричных моделей. Это важно при созда­нии систем автоматизированной обработки данных, при плани­ровании производства продукции с использованием ЭВМ.

Математическое программирование — важный раздел совре­менной прикладной математики.

Под исследованием операций имеются в виду разработка мето­дов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе хозяйственная деятельность предприятий. Цель — такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получе­ния наилучшего экономического показателя из ряда возможных.

Теория игр как раздел исследования операций — это теория математических моделей принятия оптимальных решений в ус­ловиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Теория массового обслуживания исследует на основе теории вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Так, любое из структурных подразделений предприятия можно представить как объект сис­темы обслуживания.

Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обс­луживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей со­вокупности множество таких требований подчиняется определен­ным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.

Экономическая кибернетика анализирует экономические яв­ления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зре­ния законов и механизмов управления и движения информации в них.

В ряде случаев приходится находить решение экстремальных задач при неполном знании механизма рассматриваемого явле­ния. Такое решение отыскивается экспериментально.

В последние годы в экономической науке усилился интерес к формализации методов эмпирического поиска оптимальных ус­ловий протекания процесса, использующих человеческий опыт и интуицию. Эвристические методы — это неформализованные ме­тоды решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т. д.

Для анализа хозяйственной деятельности многие методы из приведенной примерной схемы не нашли практического приме­нения и только разрабатываются в теории экономического ана­лиза. В учебнике рассматриваются основные экономико-матема­тические методы, получившие уже применение в практике эко­номического анализа.

Применение того или иного математического метода в эконо­мическом анализе опирается на методологию экономико-мате­матического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованную классификацию методов и задач анализа.

По классификационному признаку оптимальности все эко­номико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и неоптимизационные. Если метод или задача позволяет искать решение по заданному критерию оп­тимальности, то этот метод относят в группу оптимизационных методов. В случае, когда поиск решения ведется без критерия оп­тимальности, соответствующий метод относят к группе неопти­мизационных методов.

По признаку получения точного решения все экономико-ма­тематические методы делятся на точные и приближенные. Если алгоритм метода позволяет получить только единственное реше­ние по заданному критерию оптимальности или без него, то дан­ный метод относят к группе точных методов. В случае, когда при поиске решения используется стохастическая информация и ре­шение задачи можно получить с любой степенью точности, ис­пользуемый метод относят к группе приближенных методов. К группе приближенных методов относят и такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности.

Таким образом, используя только два признака классифика­ции, все экономико-математические методы делятся на четыре группы: 1) оптимизационные точные методы; 2) оптимизацион­ные приближенные методы; 3) неоптимизационные точные ме­тоды; 4) неоптимизационные приближенные методы.

Так, к оптимизационным точным методам можно отнести ме­тоды теории оптимальных процессов, некоторые методы мате­матического программирования и методы исследования опера­ций. К оптимизационным приближенным методам относятся от­дельные методы математического программирования, методы исследования операций, методы экономической кибернетики, методы математической теории планирования экстремальных экспериментов, эвристические методы. К неоптимизационным точным методам относятся методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометричес­кие методы. К неоптимизационным приближенным методам отно­сятся метод статистических испытаний и другие методы матема­тической статистики.

В схеме (см. рис. 5.1) были представлены укрупненные груп­пы экономико-математических методов, отдельные методы из этих групп используются для решения различных задач как опти­мизационных, так и неоптимизационных; как точных, так и приближенных.

Большое значение в анализе хозяйственной деятельности имеет группировка методов (задач) балансовых и факторных. Балансовые методы — это методы анализа структуры, пропорций, соотношений.

Экономический анализ — это прежде всего факторный анализ (в широком смысле слова, а не только в виде стохастического факторного анализа).

Под экономическим факторным анализом понимаются посте­пенный переход от исходной факторной системы (результативный показатель) к конечной факторной системе (или наоборот), раск­рытие полного набора прямых, количественно измеримых факторов, оказывающих влияние на изменениерезультатного показателя.

Рассмотрим примерную классификацию задач факторного анализа работы предприятий с точки зрения использования ма­тематических методов (рис. 5.2).

При прямом факторном анализе выявляются отдельные факто­ры, влияющие на изменение результатного показателя или про­цесса, устанавливаются формы детерминированной (функцио­нальной) или стохастической зависимости между результатным показателем и определенным набором факторов и, наконец, вы­ясняется роль отдельных факторов в изменении результатного экономического показателя.

Постановка задачи прямого факторного анализа распростра­няется на детерминированный и стохастический случай.

Пусть у =/(х,) — некоторая функция, характеризующая изме­нение результатного показателя или процесса; х15 х, —, хп — фак­торы, от которых зависит функция/(х,). Задана функциональная детерминированная форма связи изучаемого показателя у с набо­

ром факторов Х\,х2> —> хп!У =/(хі> х2* хп)• Пусть показатель у получил приращение (Ду) за анализируемый период. Требуется определить, какой частью численное приращение функции у =/(хх2• ..., х„)обязано приращению каждого аргумента (фак­тора). Сформулированная таким образом задача есть постановка задачи прямого детерминированного факторного анализа.

Экономический факторный анализ

Обратный факторный анализ (синтез)

Детерминированный (детерминистский) анализ

Одноступенчатый анализ

Статический пространственный анализ

Пространственный анализ Временной анализ

Ретроспективный анализ °перативный Перспективный анализ

анализ

Рис. 5.2. Укрупненная схема классификации задач экономического факторного анализа

Примерами прямого, детерминированного, факторного анализа являются: анализ влияния производительности труда и численности работающих на объем продукции (у - объем продукции, х, г - факторы, задана функциональная форма связи у =х • I); анализ влияния величины прибыли, основных произво­дственных фондов и оборотных средств на уровень рентабель­ности (у — уровень рентабельности; х, I, V — соответствую­щие факторы; заданная функциональная форма связи у = . )

+

Задачи прямого детерминированного факторного анализа — наи­более распространенная группа задач в анализе хозяйственной деятельности. Аналитические задачи, решаемые с применением прямого детерминирования, приводились в гл. 4.

Рассмотрим особенности постановки задачи прямого стохас­тического факторного анализа. Если в случае прямого детермини­рованного факторного анализа исходные данные для анализа имеются в форме конкретных чисел, то в случае прямого стохас­тического факторного анализа заданы выборкой (временной или поперечной). Решения задач стохастического факторного анали­за требуют: глубокого экономического исследования для выявле­ния основных факторов, влияющих на результатный показатель; подбора вида регрессии, который бы наилучшим образом отра­жал действительную связь изучаемого показателя с набором фак­торов; разработки метода, позволяющего определить влияние каждого фактора на результатный показатель.

Если результаты прямого детерминированного анализа долж­ны получиться точными и однозначными, то стохастического — с некоторой вероятностью (надежностью), которую следует оценить.

Примером прямого стохастического факторного анализа яв­ляется регрессионный анализ производительности труда и других экономических показателей.

В экономическом анализе, кроме задач, сводящихся к детали­зации показателя, к разбивке его на составляющие части, сущест­вует группа задач, где требуется увязать ряд экономических ха­рактеристик в комплексе, т. е. построить функцию, содержащую в себе основное качество всех рассматриваемых экономических показателей-аргументов, т. е. задач синтеза. В данном случае ста­вится обратная задача (относительно задачи прямого факторного анализа) — задача объединения ряда показателей в комплекс.

Пусть имеется набор показателей хь хь хп, характеризую­

щих некоторый экономический процесс (Ь). Каждый из показа­телей односторонне характеризует процесс Ь. Требуется постро­ить функцию/ОЛ изменения процесса Ь, содержащую в себе ос­новные характеристики всех показателей х, х,.... хп или некото­рых из них в комплексе. В зависимости от цели исследования функция / (X]) должна характеризовать процесс в статике или в динамике. Данная постановка задачи называется задачей обрат­ного факторного анализа.

Задачи обратного факторного анализа могут быть детермини­рованными и стохастическими. Примерами задачи обратного де­терминированного факторного анализа являются задачи комплекс­ной оценки хозяйственной деятельности, а также задачи матема­тического программирования, в том числе и линейного. Приме­ром задачи обратного стохастического факторного анализа могут служить производственные функции, которыми устанавливают­ся зависимости между величиной выпуска продукции и затрата­ми производственных факторов (первичных ресурсов).

Для детального исследования экономических показателей или процессов необходимо проводить не только одноступенча­тый, но и цепной факторный анализ: статический (пространствен­ный) и динамический (пространственный и во времени).

Пусть исследуется экономический показатель у; X;, х2, .... хп — факторы, влияющие на этот показатель. В зависимости от цели исследования анализируется поведение показателя у одних из методов факторного анализа. Если хх, ,хп — функции бо­лее первичных факторов, то для анализа у надо объяснить пове­дение X], хх, для этого проводят дальнейшую детализацию:

х, =/, (г,, -&\

хп ~ 4 (Р1 ^2> •••> Ре)-

Детализация факторов может быть продолжена и дальше. Закончив ее, решают обратную задачу факторного анализа, син­тезируя результаты исследования для характеристики результат­ного показателя у. Такой метод исследования называется цепным статическим методом факторного анализа.

При применении цепного динамического факторного анализа для полного изучения поведения результатного показателя не­достаточно его статического значения; факторный анализ пока­зателя проводится на различных интервалах дробления времени, на которых исследуется показатель.

Экономический факторный анализ может быть направлен на выяснение действия факторов, формирующих результаты хозяй­ственной деятельности, по различным источникам простран­ственного или временного происхождения.

Анализ динамических (временных) рядов показателей хозяй­ственной деятельности, расщепление уровня ряда на его состав­ляющие (основную линию развития — тренд, сезонную, или периодическую, составляющую, циклическую составляющую, связанную с воспроизводственными явлениями, случайную сос­тавляющую) — задача временного факторного анализа.

Классификация задач факторного анализа упорядочивает постановку многих экономических задач, позволяет выявить об­щие закономерности в их решении. При исследовании сложных экономических процессов возможна комбинация постановки за­дач, если последние не относятся целиком к какому-либо типу, указанному в классификации.

5.2.