Экономико-математическое моделирование как способ изучения хозяйственной деятельности

В экономическом анализе используются главным образом математические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств. Различают математические модели с ко­личественными характеристиками, записанными в виде формул; числовые модели с конкретными числовыми характеристиками; логические, записанные с помощью логических выражений, и графические, выраженные в графических образах. Модели, реа­лизованные с помощью электронно-вычислительных машин, на­зывают машинными, или электронными.

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изу­чаемого объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели любого ви­да. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа: 1) анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу, и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируют­ся модели; 2) определение методов, с помощью которых можно решить задачу; 3) анализ полученных результатов.

При экономико-математическом моделировании часто воз­никает ситуация, когда изучаемая экономическая система имеет слишком сложную структуру, не разработаны математические методы, схемы, которые бы охватывали все основные особеннос­ти и связи этой системы. Такой экономической системой, напри­мер, является экономика предприятия в целом, в ее динамике, развитии. Возникает необходимость упрощения изучаемого объ­екта, исключения из анализа некоторых его второстепенных осо­бенностей с тем, чтобы подвести эту упрощенную систему под класс уже известных структур, поддающихся математическому описанию и анализу. При этом степень упрощения должна быть такой, чтобы все существенные для данного экономического объекта черты в соответствии с целью исследования были вклю­чены в модель.

Важным моментом первого этапа моделирования является четкая формулировка конечной цели построения модели, а также определение критерия, по которому будут сравниваться различ­ные варианты решения. В экономическом анализе такими крите­риями могут быть: наибольшая прибыль, наименьшие издержки производства, максимальная загрузка оборудования, производи­тельность труда и др. В задачах математического программирова­ния такой критерий отражается целевой функцией. Например, необходимо проанализировать производственную программу вы­работки продукции с целью выявления резервов повышения прибыли от воздействия структурного сдвига в ассортименте. Критерием оптимальности в данном случае при построении эко­номико-математической модели выступает максимум прибыли. Уравнение целевой функции будет иметь вид:

п

£ = I Р]Х] -> шах, У-1

где X} — количество производимой продукции (т, шт, ц и т.д.)/-го вида;

Р — прибыль, получаемая от производства единицы продукции у'-го вида.

При постановке задач математического программирования обычно предполагается ограниченность ресурсов, которые необ­ходимо распределить на производство продукции. Поэтому очень важно определить, какие ресурсы являются для изучаемого процесса решающими и в то же время лимитирующими, каков их запас.

Все ограничения, отражающие экономический процесс, должны быть непротиворечивыми, т.е. должно существовать хотя бы одно решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям.

В качестве ограничений при построении экономико-матема­тической модели выступает система неравенств, имеющая сле­дующий вид:

где ау — норма расхода /-го производственного ресурса на производство единицы/ -го вида продукции;

со, — запасы /-го вида производственного ресурса на рассматриваемый период времени.

Объединяя уравнение целевой функции и систему ограниче­ний в единую модель, получим линейную экономико-математи­ческую модель ассортиментной задачи:

£ = £ р)х1 -> шах;

Не для всякой экономической задачи нужна собственная мо­дель. Некоторые процессы с математической точки зрения одно­типны и могут описываться одинаковыми моделями. Например, в линейном программировании, теории массового обслуживания и других существуют типовые модели, к которым приводится множество конкретных задач.

Вторым этапом моделирования экономических процессов является выбор наиболее рационального математического мето­да для решения задачи. Например, для решения задач линейного программирования известно много методов: симплексный, по­тенциалов и др. Лучшей моделью является не самая сложная и са­мая похожая на реальное явление или процесс, а та, которая поз­воляет получить самое рациональное решение и наиболее точные экономические оценки. Излишняя детализация затрудняет пост­роение модели, часто не дает каких-либо преимуществ в анализе экономических взаимосвязей и не обогащает выводов. Излишнее укрупнение модели приводит к потере существенной экономи­ческой информации и иногда даже к неадекватному отражению реальных условий.

Третьим этапом моделирования является всесторонний ана­лиз результата, полученного при изучении экономического явле­ния или процесса.

Таким образом, экономико-математическое моделирование ра­боты предприятия должно быть основано на анализе его деятель­ности и, в свою очередь, обогащать этот анализ результатами и выводами, полученными послерешения соответствующихзадач.

Построение, или моделирование, конечной факторной сис­темы для анализируемого экономического показателя хозяй­ственной деятельности может быть осуществлено как формаль­ным, так и эвристическим путем на основе качественного анали­

за сущности экономического явления, отражаемого через дан­ный результатный показатель. Моделирование факторной систе­мы основывается на следующих экономических критериях выде­ления факторов как элементов факторной системы: причинности, достаточной специфичности, самостоятельности существования, учетной возможности. С формальной точки зрения факторы, включаемые в факторную систему, должны быть количественно измеримыми.

В детерминированном моделировании факторных систем мож­но выделить небольшое число типов конечных факторных систем, наиболее часто встречающихся в анализе хозяйственной деятель­ности:

1) аддитивные модели

2) мультипликативные модели

Применительно к классу детерминированных факторных систем различают следующие основные приемы моделирования.

1. Метод удлинения факторной системы. Исходная факторная

система у - Если а представить в виде суммы отдельных сла- мечых фаморов а, — аи + а!2-!■ ,йР:! і ... + то у = ~ + ~ + ...т

+ — конечная факторная система вида V -- 'д,-.

аг

2. Метод расширения факторной системы. Исходная фактор­ная система > ('-! Если и числитель, и знаменатель дроби «рас­

ширить» умножением на одно и то же число, то получим новую факторную систему:

т.е. мультипликативную модель вида у = Пх,.

3. Метод сокращения факторной системы. Исходная факторная

система і =- Если и числитель, и знаменатель дроби разде-

а2

лить на одно и' то же число, то получим новую факторную систе­му (при этом, естественно, должны быть соблюдены правила вы­деления факторов):

В данном случае имеем конечную факторную систему вида

Таким образом, сложный процесс формирования уровня изуча­емого показателя хозяйственной деятельности может бытьраз- ложен различными приемами на его составляющие (факторы) и представлен в виде модели детерминированной факторной сис­темы.

Например, исследуя процесс формирования объема продаж продукции у, можно использовать для анализа такие детермини­рованные факторные системы:

В статике (а) В динамике (б)

2а. у = *1X3X4;

За. у =*1*3*5х&х7;

где у - объем продаж;

Х[ — численность работающих;

х2 — производительность труда одного работающего за анализируе­мый период;

х3 - удельный вес рабочих в составе работающих;

х4 — производительность труда одного рабочего за анализируемый период;

х5 - коэффициент использования рабочих дней;

х6 - коэффициент использования рабочих часов;

х7 — средняя часовая производительность труда одного рабочего;

1у — общий индекс изменения объема продукции;

«!, »2,..., — — факторные индексы.

Модели 1—3 отражают процесс последовательной детализа­ции влияния факторов на изменение объема продаж как обобща­ющего показателя.

Воснове детерминированногомоделирования факторной систе- мылежитвозможность построения тождественного преобразова­ния для исходной формулы экономического показателя по теорети­чески предполагаемым прямым связям последнего с другими показа­телями-факторами. Детерминированное моделирование фактор­ных систем — это простое и эффективное средство формализации связи экономических показателей; оно служит основой для коли­чественной оценки роли отдельных факторов в динамике изме­нения обобщающего показателя.

Детерминированное моделирование факторных систем огра­ничено длиной факторного поля прямых связей. При недоста­точном уровне знаний о природе прямых связей того или иного показателя хозяйственной деятельности часто необходим иной подход к познанию объективной действительности. Размах коли­чественных изменений экономических показателей можно выяс­нить только стохастическим анализом массовых эмпирических данных.

Стохастический анализ направлен на изучение косвенных связей, т.е. опосредованных факторов (в случае невозможности определения непрерывной цепи прямой связи). Из этого вытека-

ет важный вывод о соотношении детерминированного и стохасти­ческого анализа: так как прямые связи необходимо изучать в пер­вую очередь, то стохастический анализ носит вспомогательный характер. Стохастический анализ выступает в качестве инстру­мента углубления детерминированного анализа факторов, по ко­торым нельзя построить детерминированную модель.

Стохастическое моделирование факторных систем взаимосвя­зей отдельных сторон хозяйственной деятельности опирается на обобщение закономерностей варьирования значений экономи­ческих показателей — количественных характеристик факторов и результатов хозяйственной деятельности. Количественные пара­метры связи выявляются на основе сопоставления значений изу­чаемых показателей в совокупности хозяйственных объектов или периодов. Таким образом, первой предпосылкой стохастического моделирования является возможность составить совокупность наблюдений, т.е. возможность повторно измерить параметры од­ного и того же явления в различных условиях.

При детерминированном факторном анализе модель изучае­мого явления не изменяется по хозяйственным объектам и пери­одам (так как соотношения соответствующих основных катего­рий стабильны). При необходимости сравнения результатов дея­тельности отдельных хозяйств или одного хозяйства в отдельные периоды может возникать лишь вопрос о сопоставимости выяв­ленных на основе модели количественных аналитических резуль­татов. В стохастическом анализе, где сама модель составляется на основе совокупности эмпирических данных, предпосылкой по­лучения реальной модели является совпадение количественных характеристик связей в разрезе всех исходных наблюдений. Это означает, что варьирование значений показателей должно проис­ходить в пределах однозначной определенности качественной стороны явлений, характеристиками которых являются модели­руемые экономические показатели (в пределах варьирования не должно происходить качественного скачка в характере отражае­мого явления). Значит, второй предпосылкой применяемости стохастического подхода моделирования связей является качест­венная однородность совокупности (относительно изучаемых связей).

Изучаемая закономерность изменения экономических пока­зателей (моделируемая связь) выступает в скрытом виде. Она пе­реплетается со случайными с точки зрения исследования (неизу-

чаемыми) компонентами вариации и ковариации показателей. Закон больших чисел гласит, что только в большой совокупности закономерная связь выступает устойчивее случайного совпаде­ния направления варьирования (случайной ковариации). Из этого вытекает третья предпосылка стохастического анализа — достаточная размерность (численность) совокупности наблюде­ний, позволяющая с достаточной надежностью и точностью выя­вить изучаемые закономерности (моделируемые связи). Уровень надежности и точности модели определяется практическими целями использования модели в управлении хозяйственной деятельностью.

Четвертая предпосылка стохастического подхода — наличие методов, позволяющих выявить количественные параметры свя­зей экономических показателей из массовых данных варьирова­ния уровня показателей. Математический аппарат применяемых методов иногда предъявляет специфические требования к моде­лируемому эмпирическому материалу. Выполнение данных тре­бований является важной предпосылкой применяемости методов и достоверности полученных результатов.

Основная особенность стохастического факторного анализа заключается в том, что при стохастическом анализе нельзя сос­тавлять модель путем качественного (теоретического) анализа, необходим количественный анализ эмпирических данных.

В экономических исследованиях нашли применение следую­щие математико-статистические методы стохастического моде­лирования хозяйственных явлений и процессов: оценка связи и корреляции между показателями; оценка статистической значи­мости связей; регрессионный анализ; выявление параметров периодических колебаний экономических показателей; группи­ровка многомерных наблюдений, дисперсионный анализ; совре­менный факторный (компонентный) анализ; трансформацион­ный анализ.

Необходимость включения математико-статистических мето­дов в методику анализа хозяйственной деятельности предприя­тий зависит от значимости решаемых при помощи данных мето­дов количественных (статистических) задач.

Можно выделить следующие наиболее типичные классы задач в экономическом анализе:

изучение наличия, направления и интенсивности связи эко­номических показателей;

ранжировка и классификация факторов экономических яв­лений;

выявление аналитической формы связи между показателями; сглаживание (выявление тренда) динамики изменения уров­ня показателей;

выявление параметров закономерных периодических колеба­ний уровня показателей;

ранжировка и классификация хозяйств (предприятий и их подразделений);

изучение размерности (сложности, многогранности) эконо­мических явлений;

выявление наиболее информативных (обобщающих) синте­тических показателей;

изучение внутренней структуры связей в системе экономи­ческих показателей;

сравнение структуры связей в разных совокупностях.

Общие направления применения математико-статистических методов в решении выявленных обобщенных статистических за­дач экономического анализа представлены в табл. 5.1.

Самая общая и типичная статистическая задача в экономи­ческом анализе - изучение наличия, направления и интенсивности связей между показателями. Это первый этап познания законо­мерностей формирования результатов хозяйственной деятель­ности. Предположение о наличии и тесноте связи делается в слу­чае выявления общих закономерностей в вариации значений изучаемых показателей. Источник возникновения этих общих закономерностей может быть разным— причинно-следственная связь между показателями, зависимость от общего фактора, слу­чайное совпадение элементов вариации. Задача экономического анализа — раскрыть качественную основу взаимосвязи между ко­личественными характеристиками экономических процессов. Стохастическое исследование связи происходит с помощью ме­тодов корреляционного анализа — коэффициентов и отношений корреляции. При этом в зависимости от характера исходной ин­формации применяются разные приемы корреляционного ана­лиза: оценка парной корреляции между показателями с цифро­вой шкалой измерения; ранговая корреляция и коэффициенты, рассчитанные по так называемым матрицам сопряженности для анализа связей между качественными показателями; каноничес­кая корреляция для анализа связи между группами показателей;

частная корреляция, которая позволяет исследовать связь между двумя показателями, элиминируя влияние других показателей; множественная корреляция для оценки зависимости одного по­казателя от группы аргументных показателей.

В случае нелинейности связи и при изучении множественной корреляции задача определения тесноты связи соотносится с проблемой изучения аналитической формы связи (коэффициент, или отношение, корреляции в этом случае прямо зависит от выб­ранной формы связи). Выявление аналитической формы связи означает моделирование хозяйственного процесса путем выявле­ния закономерностей формирования значений результатного по­казателя под влиянием факторных показателей. Это основная и самая сложная задача в экономическом анализе, которая при сто­хастическом подходе решается методом регрессионного анализа.

Изучение интенсивности и аналитической формы связей между показателями с помощью методов корреляционного и регресси­онного анализа позволяет решать важную для экономического анализа статистическую задачу — ранжировку и классификацию факторов, влияющих на анализируемое экономическое явление. Можно выделять существенные и не существенные для данного явления факторы, группу факторов, позволяющих с достаточной точностью управлять функционированием экономических сис­тем, а также ранжировать факторы по интенсивности их влияния на изучаемое явление или процесс.

Определенное развитие в специальной литературе и в практи­ческих исследованиях нашли статистические проблемы исследо­вания временных рядов. Временные ряды экономических показа­телей имеют в общем случае две особенности по сравнению с пространственными совокупностями — тенденция в изменении значений показателей и периодические колебания уровня эконо­мических показателей. Поскольку основные математико-статис­тические методы (в частности, методы исследования связей) предназначены для исследования стационарных статистических рядов, где отсутствуют систематические (закономерные) тенден­ции изменения уровня показателя, то возникает задача исключе­ния этих тенденций из временных рядов. Для этой цели разрабо­тано множество методов. После исключения тренда в зависимос­ти от характера динамики применяются уже специально разрабо­танные методы анализа динамических процессов или модифика­ции известных аналитических приемов.

Обобщенные статистические задачи экономи­ческого анализа оценка связи и корреляции между показателями оценка значимос­ти связей и точ­ности аппрокси­мации регрессионный

анализ

6. Классифика­ция и ранжи­ровка хозяй­ственных объек тов

7. Изучение раз- Выявление независимых (невзаи-

мерности описа- мосвязанных) параметров

ния экономи­ческих явлений

8. В^1явление Выявление существенно влияющих

наиболее ин- факторов исследуемого результат-

форма!ивн^1х ного явления

показателей

9. Изучение внутренней структуры свя­зей в системе показателей

10. Сравнение структуры свя­зей в разных со­вокупностях

На основе оце­нок парных свя­зей

Сравнение ко­личественных оценок связи

Выявление ос­

новных (значи мых) связей

Сравнение струк­туры значимых связей

Изучение взаи­мосвязанного влияния группы факторов

Сравнительный анализ регресси­онных моделей в разных совокуп­ностях

Моделирование и анализ периодических колебаний экономи­ческих показателей имеют большое значение в управлении хозяйственной деятельностью, в частности на предприятиях с се­зонным характером производства, в торговле и т. д. Для модели­рования периодических колебаний применяются методы спект­рального и гармонического анализа. Такие исследования позво­ляют более точно и обоснованно разрабатывать плановые зада­ния, уточнять мероприятия по улучшению организации труда и производства.

Классификация и ранжировка хозяйственных объектов являют­ся одними из важнейших задач экономического анализа. Выяв­ление классов однотипных предприятий для разработки общих нормативов планирования, оценки, стимулирования и ранжи­ровки хозяйственных объектов по результатам хозяйственной де­ятельности давно внедрилось в экономический анализ. Новые возможности повышения качества решения этих задач появля­ются в результате применения таких методов, как группировка многомерных наблюдений, дисперсионный анализ, в частности современный факторный и компонентный анализ, кластерный анализ. Предпочтительным для аналитических целей наряду со специальными приемами классификации является исследование структуры совокупности хозяйственных объектов методами сов­ременного факторного (компонентного) анализа. Синтетические факторы или компоненты, выявленные на основе внутренних связей системы экономических показателей, характеризуют от­дельные самостоятельные стороны экономических явлений (тех­нический уровень производства, уровень управленческой рабо­ты, уровень организации производства и труда и т. п.) и имеют вполне определенную содержательную экономическую интерп­ретацию. Поэтому классификация и ранжировка хозяйственных объектов по значениям этих факторов или компонент носят бо­лее значительную аналитическую нагрузку, чем группировка на основе гетерогенного набора признаков.

С развитием применения методов современного факторного анализа связана также возможность эффективного решения сле­дующих трех обобщенных статистических задач экономического анализа: изучение размерности описания экономического явле­ния, выявление более информативных показателей; изучение внутренней структуры связей в системе показателей. Хотя эти за­дачи можно решить методами корреляционного и регрессионно­го анализа, однако при экономическом анализе их следует ре­шать на основе методов современного факторного анализа.

Изучение внутренней структуры связей в системе показате­лей имеет большое аналитическое значение, так как позволяет познавать механизм функционирования экономического объек­та, что является целью большинства задач экономического ана­лиза. Решение этой проблемы на основе результатов корреляци­онного анализа (матриц коэффициентов корреляции) связано с большими трудностями, особенно при большом наборе показа­телей. Невозможно проследить за относительно длинными цепя­ми связей между явлениями, чтобы выявить общие причины этих связей. Современный факторный анализ выявляет в виде синте­тических факторов главные причины формирования данной сис­темы связей между показателями и позволяет познавать структу­ру этих связей, прослеживая связи экономических показателей с синтетическими факторами. Последняя система отличается меньшей размерностью и упорядочением представления связей, имея в результате этого большое аналитическое значение.

Выявление при помощи современного факторного анализа синтетических факторов, которые описывают основную инфор­мацию о поведении данной системы экономических показате­лей, решает проблему размерности описания экономических явлений. Включение новых показателей в анализ целесообразно только в том случае, если они содержат дополнительную суще­ственную информацию о функционировании экономических систем, так как сбор и обработка информации для составления новых показателей связаны с материальными и трудовыми за­тратами.

Синтетические факторы, выявленные методами современно­го факторного анализа, могут служить новыми, более информа­тивными комплексными показателями функционирования предприятий. Такие показатели нужны для комплексной оценки результатов хозяйственной деятельности и организационно-тех­нического уровня производства, так как они отражают всю име­ющуюся информацию.

Последней обобщенной статистической задачей в экономи­ческом анализе является сравнение структуры связей в разных совокупностях. Сравнения могут быть пространственные и вре­менные. При пространственных сравнениях исследуются инфор­мационная емкость разных систем показателей и различия в

структуре связей в разных совокупностях хозяйственных объек­тов. Такие сравнения позволяют оценить возможность перенесе­ния выводов, сделанных на основе анализа одной совокупности, на другие совокупности, которые подобны первой по своей внут­ренней структуре. Временные сравнения выявляют тенденции изменения структуры связей в соответствии с развитием эконо­мического явления.

В литературе представлены примеры сравнения моделей мно­жественной регрессии. Для сравнения факторных моделей разра­ботаны методы трансформационного анализа. К сожалению, последние не нашли применения в экономическом анализе.

Значение выделения и систематизации обобщенных статис­тических задач состоит в том, что они позволяют применять ма­тематико-статистические методы в аналитической работе. В ре­шении любой задачи анализа хозяйственной деятельности предприятий можно и необходимо использовать методы матема­тической статистики, соответствующие обобщенным статисти­ческим задачам (см. табл. 5.1).

Математический аппарат вышеуказанных экономико-статис­тических методов нашел достаточное отражение в учебниках по теории статистики.

5.3.