<<
>>

2.4.3. ИНДЕКСЫ ДИВИЗИА В ЭКОНОМИЧЕСКОМ ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ

В экономическом анализе одним из базовых инструментов является вычислительный аппарат теории индексов, что объясняет интерес специалистов к его приложениям (в том числе, в экономическом факторном анализе).

В преподавании экономического факторного, в том числе индексного, анализа [2, 7], объединяющего разнообразные методы исследования количественного влияния изменений факторов на изменение результирующего показателя, также представляется целесообразным уделить внимание индексам Дивизиа и тесно связанным с ними индексам Монтгомери, Фогта и др., детально обсуждаемым в специальной литературе [44, 45, 52], где подчёркиваются их серьезные методические достоинства: они обладают рядом полезных и естественных свойств, в частности удовлетворяют критериям транзитивности и агрегирования, дают один из возможных и эффективных путей сближения алгоритмического, статистического, экономического и аксиоматического подходов к конструированию индексов.

В то же время отмечается, что вычислительные трудности создают серьёзные препятствия для практического применения индексов Дивизиа, так как их вычисление, в соответствии с исходным определением, путём непосредственного интегрирования является очень трудоёмкой процедурой; поэтому значение хорошей аппроксимационной формулы, поиск «заменителей» индексов Дивизиа, невозможно переоценить.

Эти же проблемы заслуживают внимания и в плане преподавания данного материала [17, 105].

0

Истоки указанных трудностей коренятся в определяющей идее непрерывного взвешивания, в соответствии с которой индексы Дивизиа вводятся в контексте интегрального метода экономического факторного анализа, опирающегося для произвольной функции нескольких переменных

I = I(х) = I( хЬ х2 хт )

на точное представление её приращения А/ = / (х1) - / (х0), при пути ин-

тегрирования х = х(1), 0 < ? < 1, в следующем виде:

(2.37)

При этом, если m

v = f vi' vi = qt'Pi' Dv =vl - i=1

то

(2.38)

dt

Dv = f J pi (t )¦ ^t + f J дг (t).

^t. i=10 i=10 Для введения индексов Дивизиа, в соответствии с логарифмическим методом экономического факторного анализа, рассматривается функция / = 1п( V) и её приращение в двух представлениях

Df = ln( v1) - ln( v 0) = ln

vv %

тогда точные индексы Дивизиа Dq, Dp определяются на основе формулы

qi(t) dPi(t)

dt =

Df = ln(v1) -ln(v0) = f JMl. ^dt + f J *

i=10 v(t) dt i=10 v(t) dt

= ln

expJ[v(t )]-1. XPi (t). ^ 4 + ln = ln Dq + ln Dp,

а приближённые Dq, Dp - на основе формулы v1 Л

vv

' v 0 + (v1 - v 0)Л

10 1+v - v

v1 - v0 = Dv 0 „0

Df = ln

= ln

= ln

0

0

v

v

v

v

V

0

m

exp fJ

= ln

dt

+ ln

0

v

1 Pi(t) dqi(t)

dt

m

exp fJ

dt

v

i=10 1 qi(t) dPi(t)

dt

i=10

ln Dq + ln DP .

В случае линейного пути интегрирования

д, (г) = д0 + г(д1 - д0), р, (г) = р0 + г(р1 - р0), 0 < г < 1;

qi- q0

p0+1 (p1 - p0)

dt =

0

v

v

0

г Pi(t) dqi(t) dt = г J 0 ¦ dt J

0

.2 1

Pi0-t i + (P1 - Pi0)"

10 qi - qi

1

00

1

1

qi - qi Pi + Pi

0

0

2

v

0 2 0 индексы

т

вЧ = ехр X

О

г=1 V 2 I=1 V"

1

О

Р? + р1

1

О

Ч? + 41 2

т

Чг - Чг

Рг - Р1

вр = ехР X

А в случае экспоненциального пути интегрирования

Р±_ Р?

Ч? ¦ ехР

(г)

О < г < 1;

г

г

' .1 ^ г „о

р1 (г) = р? ¦ ехр

Ч?

II Р?

1 рг (г) dqi (г) 1 1 ?

¦ Ч? ¦ ехР

г

г

/ /

\

1

г ¦ 1п V?

V V?,

ехр

Л

?

1

V

г ~

dг = ¦ 1п % ¦

??

V Чг

V,-

1п 4

?

г 0

V

V

V

I ^ * Л=1 ¦ р? ¦ ехр

V

с

? 1 1 Vг , Чг Г = 1п —т- ¦ I ехр

Ч? ?

¦ 1п q-dг Чг?

1

1.4

? -1

=V? ¦ 1п 4 ¦

Ч?

V

Vй Ч?

1

1

V

¦ 1п\ :1п^;

?

V;

V

??

Чг

для вычисления индексов получаем выражения:

?

1

1

-Р?: 1п 4

??

Рг V

т V-

¦ 1п :1п 4

V

= ехр х

¦ 1п

?

Чг

V

г=1 V

т V,1

вЕ = ехр х^

г=1 Как с методической, так и с практической точки зрения ценность исходно используемого точного представления (2.37) в значительной степени теряется при переходе к приближённым индексам Дивизиа, хотя и более простым для вычисления, но связанным с приближённым равенством

?

¦ V

V

V

1п

?

?

V

1

V

1+

справедливость которого к тому же не соответствует современным эконо-мическим условиям, когда приращения факторов и показателей зачастую не являются малыми.

Использование в экономическом факторном анализе формулы конечных приращений Лагранжа даёт вместо (2.37) представление, тоже точное и не предполагающее малости приращений участвующих в нём величин, чем снимается последнее замечание:

?

?

?

п

А/ = Х

г = 1

д/(^1 +аА^1,..., хг + аАхг,..., хт + аАхт)

¦Ахг, (2.39) где параметр 0 < а < 1, несмотря на неконструктивный характер теоремы Лагранжа в общем случае, допускает эффективное вычисление для специальных структур функций. Так, для функции V указанного выше вида а = 0,5, что приводит к имеющему экономический смысл точному и не связанному с реальными величинами приращений (независимо от того, малы они или нет) представлению

Ау у«Ы0 р? + Р1 , уР1 -Р0 д?+ч1

V0' ? V? 2 V? 2 '

которое хотя и может быть получено с использованием , , но предложенный здесь его вывод существенно проще.

Кроме того, для функции / = 1п( V) из уравнения

А/ = 1п

0

= 1п( V 0 + а ¦ Аv) ¦ Аv

нетрудно найти

Ау

а 'п = Д* '

что даёт точное и не связанное с реальными величинами приращений (независимого то того, малы они или нет) представление

А/ = 1п(V0 + а 1п ¦ АУ) ¦ АУ,

впрочем, совпадающее с

А/ = 1п( V 0 + АУ) - 1п( V 0).

Таким образом, вышеприведённые расчёты позволяют проследить эволюцию методов Дивизиа и показать пользователю данного аппарата выкладки для расчёта основных показателей исследованного подхода к оценке хозяйственной деятельности.

Также представляется полезным при изложении данного материала подчеркнуть взаимосвязи между различными системами индексов.

Точные индексы Дивизиа, полученные при линейном пути интегрирования и совпадающие при этом с натуральными индексами Фогта, определяются сложными, не имеющими ясной интерпретации формулами; для экспоненциального пути ситуация оказывается ещё менее приемлемой.

V0 + Аv 0

- V

V 0

С другой стороны, индексы Монтгомери представляют собой скор-ректированные приближённые индексы Дивизиа, порождаемые экспонен циальным путём и факторным разложением (2.38). Наконец, точные ин-дексы Дивизиа, порождаемые степенным путём, совпадают с приближёнными индексами Монтгомери. В этом случае, имея аксиоматическое обоснование и представляя собой точные индексы Дивизиа для степенного пути, индексы Монтгомери оправдывают использование близких к ним по значениям других, возможно более просто вычисляемых и эвристически вводимых индексов.

<< | >>
Источник: Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарёв С.В.. Экономический факторный анализ: Монография. 2004

Еще по теме 2.4.3. ИНДЕКСЫ ДИВИЗИА В ЭКОНОМИЧЕСКОМ ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ:

  1. Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарёв С.В.. Экономический факторный анализ: Монография, 2004
  2. 2.Экономический факторный анализ
  3. 2.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
  4. 2.1.1. СОДЕРЖАНИЕ И ПРЕДМЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
  5. 2.1.2. ЗАДАЧИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
  6. 2.1.3. МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
  7. 2.2. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА О КОНЕЧНЫХ АБСОЛЮТНЫХ ПРИРАЩЕНИЯХ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ
  8. 2.2.3. СОСТАВЛЕНИЕ РАБОЧИХ ФОРМУЛ НОВОГО МЕТОДА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
  9. 2.3. ЦЕПНОЙ экономическим ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
  10. 2.4.2. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ И ИНДЕКСНОМ ЭКОНОМИЧЕСКОМ ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ
  11. 2.4.3. ИНДЕКСЫ ДИВИЗИА В ЭКОНОМИЧЕСКОМ ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ
  12. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
  13. 2.3 Факторный анализ экономического развития организаций
  14. 3.1.Понятие факторного анализа
  15. 3.2.6. Факторный анализ и расчет многомерного показателя факторной зависимости
  16. 7.6. Методы факторного анализа экономических показателей
  17. 10.3. Факторный анализ себестоимости реализованной продукции
  18. 34. ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА ФИНАНСОВО-ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ
  19. 35. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИНДЕКСНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО МЕТОДОВ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА, ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ