2.2.3. СОСТАВЛЕНИЕ РАБОЧИХ ФОРМУЛ НОВОГО МЕТОДА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

В общем случае теорема о среднем неконструктивна, но существуют примеры численного решения задачи для большинства известных функций

[14, 89].

Рассмотрим применение метода Лагранжа к основным типам моделей результирующего показателя.

В качестве примера мультипликативных моделей рассмотрим не-сколько стандартных факторных систем, которые наиболее часть встречаются в практике экономического факторного анализа финансовых и технологических показателей.

1).

/ = * ¦у.

Пусть факторы х и у получили соответственно приращения Ах и Ау, тогда отклонение функции имеет вид

А/ = (х + Ах)( у + Ау) - ху = уАх + хАу + АхАу. (2.15)

Но в то же время, по теореме о промежуточном значении, А/ = /X (х + аАх, у + аАу )Ах + /у (х + аАх, у + аАу )Ау,

А/ = (у + аАу)Ах + (х + аАх)Ау = Ах + Ау ; (2.16) приравнивая (2.15) и (2.16), находим, что а = 0,5 и тогда

А/ = (у + 2Ау)Ах + (х + 2 Ах)Ау = уср Ах + хср Ау = Ах + Ау . (2.17)

Таким образом, задача поиска величин факторного влияния получила точное и однозначное решение.

В данном случае достигнутый результат не является уникальным, так как аналогичные формулы для вычисления факторного влияния могут быть получены и с использованием некоторых других алгоритмов из набора классических методов экономического факторного анализа. 2). Трёхфакторная мультипликативная модель - функция вида

/ = х ¦ у ¦ 2 .

После группировки слагаемых приращение функции можно представить в виде

А/ = Ахуг + (х + Ах)Ауг + (х + Ах)(у + Ау)Аг .

По формуле Лагранжа: А/ = (у + аАу)(г + аАг) Ах + (х + аАх)( г + аАг) Ау + (х + аАх)( у + аАу)Аг, где а можно найти из уравнения

31 о а2 + 2І1а- (1 о +11) = 0, 1 о = 1, І1 = ~ + ~ + ~.

Ах Ау Аг

Решая уравнение, получаем:

г \

±

V

а 3

І1

33

1 + + г 1

11 і2

1 у

Для завершения процедуры анализа необходимо найти численное значение параметра а є (0;1) для конкретных данных и подставить его в выражение для разложения приращения результирующего показателя, чтобы получить искомую структуру факторной системы

А/ = Ах + Ау + А2 .

Как показывает сравнительный анализ, в случае исследования трёх- факторной мультипликативной и других, более сложных по структуре моделей, метод Лагранжа позволяет получить результаты, которые отличаются от тех, что могут быть получены с применением базовых подходов экономического факторного анализа.

3). Четырёхфакторная мультипликативная модель - функция вида

/ = х • у • г • р . В этом случае приращение функции запишем в виде А/ = Ахугр + (х + Ах)Аугр + (х + Ах)(у + Ау)Агр + (х + Ах)(у + Ау)(г + Аг)Ар.

Используя теорему о среднем значении, получаем: А/ = (у + аАу)(г + аАг)(р + аАр)Ах + (х + аАх)( г + аАг)( р + аАр)Ау + + (х + аАх)( у + аАу)(р + аАр) Аг + (х + аАх)( у + аАу)( г + аАг )Ар =

= Ах + Ау + Аг + Ар. Уравнение для вычисления параметра а :

41 о а 3 + 3^а 2 + 212 а- (1 о +1і +12) = 0,

хугр 1 о = 1, 1і = — + — + — + —, Ах Ау Аг Ар

х у х г х р у г у р г р

12 = •!— + + — + — + — — + — .

Ах Ау Ах Аг Ах Ар Ау Аг Ау Ар Аг Ар Решая уравнение, находим:

1 2 •12 - 3-12 і

а = —•Р 4 -1Ь

12 Р 4 1

Р = |- 27 • 13 +108 • 11 • 12 + 216 • (11 +12 +1) + +12 • (- 81 -14 - 27-11 -1| - 81 ^ 2)+ + (- 81 ^3 + 96 •132 + 324 •(12 2 +11 ^ ))+

1

(324 ^ + 1?>)+ 972 •11 2)+ (648 • (11 +12) + 324)]2

+

Таким образом, в общем случае, для мультипликативной модели вида? п

У = / (хЬ x2,•••, хп ) = П X

1=1

получаем следующий алгоритм расчётов для применения метода Лагранжа:

Приращение результирующего показателя записывается как разница фактического и базового значений:

пп

ДУ = П (X +Ах1)-П X , 1=1 1=1

п I-1 п

Ау = ХП(х7 +Дх7)¦ Ах/ • Пхк , (218)

1=1 у=1 к=/+1

0 п

П (ху +Аху ) = П хк = 1 •

у=1 к=п+1

Применяя теорему о промежуточном значении, получаем формулу для точного разложения приращения функции:

п 1 -1 п

АУ = X Ах> , Ах> = П(ху + аАху) ¦ Ах/ ¦ П(Хк + аАхк)• (2.19)

1=1 у=1 к=/+1

III Приравнивая (2^18) и (2Л9), находим а из получившегося уравнения:

п - 2 п - 2

X (п - т) ¦ 1 т ¦ ап-1-т - XIт = 0, (220)

т=0 т=0

сп т

ау , т = 1, •••, п-2, ау = 1=1 у=1 Ахк

В качестве примера используем данный алгоритм для пятифакторной мультипликативной модели

/ = х ¦ у ¦ г ¦ р ¦ ц • Получим следующие результаты:

Приращение результирующего показателя

А/ = Ахугрц + (х + Ах)Аугрц + (х + Ах)( у + Ау) Агрц +

+ (х + Ах)( у + Ау)( г + Аг )Арц + (х + Ах)( у + Ау)( г + Аг)(р + Ар)ц •

По теореме Лагранжа:

А/ = (у + аАу)( г + аАг)( р + аАр)(ц + аАц)Ах +

10 = 1, 1 т = X Пау , т = 1, •••, п-2, ау = -А^-, к = п

+ (х + аАх)( г + аАг)( р + аАр)(ц + аАц)Ау + + (х + аАх)( у + аАу)( р + аАр)(ц + аАц)Аг + + (х + aAx)( y + aAy)(z + aAz )(q + aAq)Ap + + (х + aAx)(y + aAy)( z + aAz)(p + aAp)Aq = Ax + Ay + Az + Ap + Aq.

III.

51 о a 4 + 41ja 3 + 312 a 2 + 213a- (1 0 + li +12 +13) = 0,

10 = 1, 1i = Qx + Qy + ^z + Qp + Qq ,

12 = ax'Qy + a

x ' a z + Qx ' a p + Qx ' a q + a y ' a z + I Qy I Qy I Q z ^p I z ^Q^q + ^p ^Q^q,

13 Qx Qy Qz I Qx Qy I Qx ^Qy ^Q^q + ^Q^c z ^p I ^Q^c z ^Q^q I I о/ x QQ ^q I QQ y QQ z QQ ^p I QQ y QQ z QQ ^q I QQ y QQ ^p QQ ^q I QQ z QQ ^p QQ ^q, x y z p q

Q v — , Q11 — , Q T — , Q fi — , Q ҐІ — .

x Ax y Ay Az p Ap q Aq

Использование метода конечных приращений в общем виде не позволяет определить значения факторов в промежуточных точках единствен-ным образом, то есть могут достигаться несколько различных значений параметра ae (0;1) и соответствующих им промежуточных значений самих факторов xj I aAxj, что приводит к различным видам представления

приращения результирующего показателя. Данное обстоятельство не ухудшает качественных характеристик нового метода. Напротив, как следует из расчётов на основе конкретных данных, множественность в определении величин факторного влияния, предоставляя всю доступную информацию, даёт возможность последовательно применить системный подход для решения задачи синтеза - задачи принятия решения.

При этом, в ряде случаев существует возможность оценить количество допустимых комбинаций разложения вариации обобщающего показателя.

Для оценки количества корней многочлена (2.20) можно использовать теорему Декарта, являющуюся, в свою очередь, следствием теоремы Бю- дана-Фурье [62, С. 255-259].

Теорема Декарта.

Число положительных корней многочлена f (x), засчитываемых столько раз, какова кратность каждого корня, равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на чётное число.

Для определения числа отрицательных корней многочлена достаточно, очевидно, применить теорему Декарта к многочлену f (-x). При этом, если ни один из коэффициентов многочлена не равен нулю, то переменам знаков в системе коэффициентов многочлена / (-х) соответствуют сохранения знаков в системе коэффициентов многочлена /(х) • Таким образом, если многочлен / (х) не имеет равных нулю коэффициентов, то число его отрицательных корней (считаемых с их кратностями) равно числу сохранений знаков в системе коэффициентов или меньше его на чётное число •

Применим теорему Декарта к рассматриваемому многочлену (2^20) в случае, когда величины всех факторов и их приращений положительны • Система коэффициентов данного многочлена:

{п¦А, 0;(п -1) ^ь^;2 п - 2;- (10 +М + ••• + 1 п - 2Ж то есть число перемен знаков в его системе коэффициентов равно 1, так как все коэффициенты, кроме последнего, являются положительными для рассматриваемого частного случая:

т

сп т

10 = 1 > 0, 1 т = X П— > 0, т = 1,--, п - 2, к = п • I=1 у=1Ахк

Следовательно, данный многочлен имеет лишь один положительный корень • С другой стороны, теорема о среднем утверждает обязательность существования промежуточных значений х^ + аАх^ е (х^; х^ + Ах^), то есть должно существовать по крайней мере одно значение параметра а е (0;1) •

Так как (2^20) имеет единственный положительный корень, то он и находится в интервале (0;1) •

Таким образом, в случае, если все факторы и их приращения положительные, то метод Лагранжа позволяет найти для мультипликативной модели единственное выражение для точного представления приращения ре-зультирующего показателя как функции от приращений факторов, а, сле-довательно, метод предлагает однозначное решение основной задачи эко-номического факторного анализа^

Если значения факторов и их приращений не являются положительными, то допускаются различные варианты разложения приращения результирующего показателя • Результаты факторного анализа и их интерпретация на примере конкретных данных будут рассмотрены более подробно в следующем разделе •

Среди кратных моделей можно выделить несколько основных типов • Проведём исследование по каждому из них на примере простейших функ- ций^

/ = х. у

Приращение результирующего показателя записывается в виде

х х х

у + аУ у

а с использованием теоремы о среднем:

А/ Ах (х + аАх) • Ау (у + аАу) А.

у + аАу (у + аАу )2 (у + аАу )2 (у + аАу )2 ' Приравнивая два выражения для представления приращения функции, находим искомое значение параметра:

а = V у(у + АУ ) - у Ау '

2). Функция вида

А/ = ; ; = А. + А у + Аг

/ х

У + г

Приращение результирующего показателя записывается в виде

х х х

у + Ау + г + А г у + г а по теореме о среднем

А/ = А. + Ау + Аг;

Ах (х + аАх) • Ау (х + аАх) • Аг

А/ =

(У + аАУ + г + аАг) (у + аАу + г + аАг)2 (у + аАу + г + аА)'

где

а = У (у + г) • (у + Ау + г + А г) - (у + г)

(Ау + А г) '

3). Функция вида

/ = ^.

2

Приращение результирующего показателя записывается в виде х + А х + у + Ау х + у г + А г г

по теореме Лагранжа:

А/ = А х А у - (х + аА х) + (у + аА у) ^ А г

А/ = ^ = Ах + Ау,

1). Функция вида

(г + аАг) (г + аАг) (г + аАг )2 '

д/г (г + Аг ) - г

4). Функция

/=

г + р

а=

Аг х + у

В этом случае

Приращение результирующего показателя записывается в виде

х + Ах + у + Ау х + у

А/

г + А г + р + Ар г + р в соответствии с методом Лагранжа:

1

Ау

(г + аАг + р + аАр) (х + аАх) + (у + аАу)

где

А/ 1

¦А х +

(г + аАг + р + аАр)

^ Дг - (х + аАх) +(у + аАу) ^ Ар

2

(г + аАг + р + аАр) (г + аАг + р + аАр)

д/( г + р) ¦ (г + А г + р + Ар) - ( г + р)

а =

(Аг + Ар)

Таким образом, применение теоремы Лагранжа для кратных моделей факторных систем вида

Ах + Ау + Аг + Ар ;

п I

у=

х

І

і=1

да

х

I у=п+1

также позволяет найти точное разложение приращения результирующего показателя: п

А хі

Ау = 1 Ахі і=1

А

хі(і < п Г

да

I (х у+аАх у) І = п +1

да

да

да п

Ах І ¦ I (хі + аАхі) І Ы1 і 1

х

V

І=п+1 І=п+1

І

Аху(п+1< І <т)

а=

2

I хІ ¦ I(х І +АхІ) - I

І=п+1

да т

І=п+1

І(х у + аАх у ) І = п +1 Если находить параметр а не требуется, то выражения для расчёта элементов структуры факторной системы могут быть получены путём интегрирования простейших выражений на отрезке 0 < а < 1 в соответствии с формулой (2.12).

В этом случае, для двухфакторной мультипликативной модели / = х • у достигается тот же результат, что и при использовании дифференциальной теоремы Лагранжа:

1 а л

0

1

У + - АУ 2

АУ = УсрАх + хср АУ = Ах + Ау •

1 1 А/ = | ((у + аАу) Ах )<^а +1 ((х + аАх) Ау )4а = 0 0 ( 12 а

+АуАх— 02 1 ^ ( 12 а

+ АуАх — 02 1 ^ уАха

V 0 у + хАуа

V 0 0 Ах +

х +—Ах V 2

Для мультипликативной модели общего вида в этом случае можно получить следующий результат:

п п п (1 л

I=1

г=1

АУ = Е \ , Ах, =ПДх/ - к

к=1

СП-1 ш

хк

1г0 = 1, ХШ = X Пак1, ш = 1,..., п -1, а^ =а^, к = -1,г +1,...,п • к=1 1=1 АхЬ

Используем полученные формулы на примере пятифакторной муль-типликативной модели:

/ = х • У • 2 • р • д, А/ = Ах + Ау + Аг + Ар + Ад,

( х 1 х 1 х 1 х 1 х ^

Ах = Ах • Ау • Аг •Ар •Ад •

д ¦

Хл +—Хо +—Х~ +—Х +—Хл , V 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0

Хх0 = 1, Х1 = а у + а2 + а р + аа,

Х 2 у + у + у + ^^г ^р I ^^г ^а^д I ^р ^а^д, Х3 = ау-аг •ар + ау-аг •ад

+ ау • ар • ад + аг • ар • ад,

у 1 у 1 у 1 у 1 у

Хул + - • Ху +- • ху +- • Х1 +- • Ху V 423324150 у

Х =ау • а2 • ар • ад

Ау = Ах • Ау • Аг • Ар • Ад

ХУ0 = 1, Х1 = ах + аг + ар + - д

а

^ = ах ¦а; + ах ¦ар + а^ач + а, ^р + а, + ар-а?,

Аг = Ах ¦ Ау ¦ Аг ¦ Ар ¦ Ад

Ау = ах ¦ аг ¦ ар + ах ¦ аг ¦ ад + ах ' ар ' ад + аг ' ар ' ад , =ах ' аг ' ар ' ад

1 г 1 г 1 г 1 г

1л + 1о + + 1 + 1л

V 42332415 0

= 1, 1 = ах + а у + ар + ад, 12 х у + ^а^х + ^а^х ^д + у ^р + у ^а^д + ^р ^д, 13 = ах-ау-ар + ах¦

Ар = Ах ¦ Ау ¦ Аг ¦ Ар ¦ Ад

ау ¦ ад + ах ¦ ар ¦ ад + ау ¦ ар ¦ ад, 14 ах ' ау ' ар ' ад

\р4 + ~ 1р + ~ 1р + ~ 11 + ~ 1рл

V 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0

1р = 1, 1р = ах + а у + аг + ад, 1р = ах^ау + ах-аг + ах а + ауа2 + ауад + а2^д,

Ад = Ах Ау Аг Ар Ад

^р = ах ¦ ау ¦ аг + ах ¦ ау ¦ ад + ах ' аг ' ад + ау ' аг ' ад , 14 =ах ' ау ' аг ' ад ;

^ 1 1 1 1 л

1д4 + !¦ + !¦ + !¦ 11 + !¦ 1д0

V 423324150

1д = 1, = ах + ау + аг + ар,

1д2 = ах ¦ау + ах.аг + а^ар + ауаг + ау ¦ар + аг^р,

13 — ах * ау * а г + х * у ¦ р + х ¦ а г * р + у ¦ а г * р, 14 —х * у * а г * р

у

гр

ау \ , Ау

—, ар = —, ад

Ар ' ^ Ад'

Приращение обобщающего показателя в случае кратных моделей также можно представить с использованием альтернативных формул, получаемых после интегрирования в соответствии с (2^12):

т п

Ау = X АХ, , АХ, (1 < П)

А х1

1п

т

X А ху

у=П + 1

г=1

X ( х у + А х у ) у=п+1

т

X А ху

у=п+1 п

Ау -X Ах,

"1

Аху (п+1< у < т) = т Аху '

XДxу

у=п+1

Полученные для основных типов факторных систем формулы для расчёта величин факторного влияния по методу Лагранжа представлены в табл.

Сводные результаты по выводу формул для представления разложения приращения результирующего показателя с использованием интегральной формы теоремы Лагранжа представлены в табл. 2.5.

Для упрощения и повышения эффективности применения метода Ла- гранжа в случае нестандартных моделей факторных систем можно реко-мендовать использовать в расчётах специализированные математические пакеты [20]. Вспомогательные программные продукты значительно упрощают дифференцирование и интегрирование при разложении приращения результирующего показателя по составляющим величинам факторного влияния, позволяют точно находить решения уравнений при вычислении параметра а и могут быть использованы при решении других вычислительных задач, возникающих в процессе анализа.