12.4. Парный регрессионный анализ

В качестве факторов следует выбирать показатели, отве­чающие следующим требованиям:

1) наличие логической связи с результативным показа­телем;

2) количественная измеримость показателя, принятого в качестве фактора;

3) наличие источников информации для расчета фак­торов;

4) отсутствие функциональной связи между факторами, включенными в модель.

Уравнение парной регрессии линейного характера имеет общий вид:

у = а + Ъх, (12.16)

где х - фактор, влияющий на результативный показатель; у - признак-фактор;

Ь - коэффициент регрессии, характеризующий степень

влияния а: на у; а — постоянная для данной совокупности исходных дан­ных величина, не зависящая от влияния включенно­го в анализ фактора х.

Линия регрессии —это линия наибольшего соответствия, проходящая через точки разброса фактических значений, расположенных в системе координат.

Группа предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком, называется статистической совокупностью.

Различают понятия генеральной и выборочной совокуп­ности.

Генеральная совокупность — это бесконечный набор зна­чений изучаемой случайной величины.

Выборочной совокупностью называют часть случайных величин генеральной совокупности, отобранных из генераль­ной совокупности для получения сведений о ней. Для того чтобы выполнить задачу выявления закономерностей, выбо­рочная совокупность должна быть репрезентативной (выбор­ка должна быть достаточной и отражать все признаки гене­ральной совокупности).

Рассмотрим пример, построив регрессионную парную ли­нейную модель зависимости стоимости 1 кв. м общей площа­ди жилья от фактора удаленности объекта от центра города. Исходные данные и промежуточные значения для расчетов приведены в таблице 12.13.

Параметры уравнения регрессии определяются по следу­ющим формулам:

_{ь =} пШ-^Щу ,

г&'СЕр:)³ ' ^{иЛ7>

1у ЬТ>

^{а =} ^------ (¹²М

где « - объем выборочной совокупности.

Полученное уравнение имеет вид:

У = 253,968 ~ 6, 667X (12.19)

Коэффициент регрессии Ь = — 6,667 имеет отрицательное значение, что свидетельствует об обратной связи между X и У : чем больше удаленность объекта от центра, тем ниже сто­имость. Количественное значение 6,667 показывает, что с из­менением удаленности объекта на 1 км стоимость снизится на 6,667 долл/м*.

Насколько достоверно уравнение отражает реальную кар­тину линейности полученной зависимости, можно определить С помощью линейного коэффициента корреляции К. Пирсона:

______ п^ху - Т^Т-У____

В нашем примере г = - 0,953. Значение коэффициента корреляции может изменяться в пределах от -1 до +1.

Если связь между показателями прямая г > 0, если обрат­ная г < 0.

Чем ближе абсолютное значение г к 1, тем теснее связь между показателями.

По мере того, как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а ве­личина т будет ближе к 1, и наоборот.

Вторым показателем, способным характеризовать тесноту связи, является коэффициент детерминации (г^г):

Т(у^г-у)^г

где У " значение переменной У в каждой точке, исчисленное на основе уравнения регрессии; У - среднее значение У; У - фактическое значение У.

Таблица 12.14 Расчет коэффициента детерминации

Данный показатель характеризует отношение той части вариации У, которая объясняется влиянием X, к общей вари­ации. Б нашем случае указанная доля составляет 95,9%.

Для определения значимости коэффициента корреляции между изучаемыми показателями в случае малой выборки исходных статистических данных целесообразно использо­вать ^критерий Стьюдента.

Его применение основано на проверке двух гипотез: 1- Между У и X не существует линейной связи (Р = 0). 2. Между У и X существует некоторая линейная связь и X помогает в прогнозировании У (РФ 0).

Расчетное значение критерия определяется по формуле:

(12.21)

где (п - 2) - число степеней свободы;

г - линейный коэффициент корреляции. Если расчетное значение ( будет больше, чем табличное, то гипотеза о нулевом значении коэффициента корреляции в генеральной совокупности не подтверждается; если расчет­ное значение ниже табличного - в генеральной совокупности корреляция может не наблюдаться,

В нашем примере расчетное значение критерия: Табличное значение г (0,025;14) = 2,144

I (- 0.953)'-(16-2) і = (І,- (- О,053)^г) =п,820.

Полученное расчетное значение выше, следовательно, установленная закономерность может проявляться в гене­ральной совокупности.

Достоверность полученных результатов анализа во мно­гом зависит от полноты и достоверности исходных данных.

Чтобы определить требуемую величину объема выбор­ки, следует первоначально определиться, какой уровень до­верительной вероятности нам необходим (например, цд 95 или '99%).

Во многих практических ситуациях зависимость между двумя переменными может иметь нелинейный характер.

В частности, параболическая зависимость между показа­телями имеет вид:

у ^а + Ьх + сх². (12.22)

Система нормальных уравнений, из которой можно полу­чить неизвестные параметры а, Ъ и с, имеет вид:

па + ЪУх + с^х² = Ту ; а£х + йре² + = ; (12.23)

Ь^а,-' + сУ;е⁴ = У ух² ;

Теснота связи, характеризующая точность аппроксимации •параболы, характеризуется корреляционным отношением:

I

3 = Г~ 1(У ~ У Г , (12.24)

Корреляционное отношение имеет диапазон от 0 до + 1; если И>г, то парабола точнее характеризует закономерность связи показателей, нежели прямая линия.

Дополнительной оценкой точности аппроксимации в нели­нейных моделях является средняя относительная ошибка ап­проксимации:

X 100, (12.25)

У

Рассмотрим пример моделирования параболической за­висимости на основе следующих исходных данных (табли­ца 12.15).

Система уравнений:

12а + 37Ъ+ 129с = 25 200 37 а + 129Ъ + 493с = 7800

129а + 493Ь + 2 025с = 26 220

Отсюда методом подстановки получим:

а = 183,37;

Ь = 43,025; с =

Уравнение зависимости стоимости жилой недвижимости от этажа квартиры имеет вид:

У = 183,370 + 43,025 Х - 9,138Х². (12.26)

Полученное уравнение показывает, что чем выше этаж квартиры, тем выше стоимость, но до определенного преде­ла (таблица 12.16).

Первая производная уравнения (12.23) определится сле­дующим образом:

= 43,025 -2 * 9,138 X.

Приравняв полученное уравнение к нулю, получим опти­мальное значение X:

43,025-2 х 9,138 Х=0.

X =2,3, т.е. наиболее высокую стоимость имеют кварти- ры, находящиеся на 2-3 этажах.

Проверим тесноту связи с помощью корреляционно­го отношения, определив его основные параметры в табли­це 12.17.

Таблица 12.17

з Ггшо V 9266,7

Теснота связи высокая, так как корреляционное отноше­ние близко к единице.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

Е = 0,581-100 = 4,8%.

Для определения достаточности объема выборочной со­вокупности можно воспользоваться методом уточненной вы­борки.